谈谈除数是一位数的除法的估算
2019年3月31日星期日
关于“估算”，我之前写过一篇文章，比较笼统。
——《小学数学估算教学内容的分类
今天，我打算针对“除数是一位数的除法的估算”再具体写一写。这些内容并不新鲜，也是我课堂当中所讲过的。本文的作用或许可比于帮助学生所做的、比较详细的“课堂笔记”。
课堂板书（对于书写，本人亦表示“呵呵”）
学生对于估算的学习问题很多，或许需要更长的时间才能熟稔于心，这也是促使我罗里吧嗦再度行文的重要原因。
估算的重点在于掌握估算的方法，估算的难点恰在于估算方法的多样性和灵活性。迄今为止，至少我是没能发现一种能“通用于各种情况”的“万能算法”的，因为至少对于“针对解决问题的估算”是不能完全套用“针对计算的估算”的方法的。
我个人认为：估算的重点在于培养估算意识，领悟估算思想，至于估算方法，则是基于“估算思想”的自然选择和自在取用。从多种多样的估算方法中抽象出估算的本质思想，并进而藉此统领众多的估算方法，是学习估算的“辩证的”方法论。
本文力图对“估算”进行一番全面而深入的梳理，但毫无疑问又明显带有小学三年级的学段局限。
一、基于对估算的重大误解谈估算思想以“255÷4”为例。
因为：
255÷4＝63……3
（除法竖式略）
63≈60
所以：
255÷4≈60
这种错误不仅小学生会犯，部分未接触或未深入理解估算的成年人也会犯。从家长的辅导和询问中，我证实了这一点。
之所以将其冠以“重大”误解，是因为其计算逻辑是：先准确计算出结果，再对结果求近似数。这种做法有违常识——假使我们都知悉了准确结果，又何需近似结果？且徒使估算寄生于笔算（或“精算”吧）之上，成为多余的附庸，整个计算过程也只为了“难受”而已。以数学学科之严谨周密，断然不会如此。
这种错误可以冠名为“本末倒置型”。孰为本？计算过程的估算；孰为末？对准确结果求近似数。
为了防止再度出现这样的错误，我给学生“打补丁”：变一变，做口算。
末了，加一句：以后估算只要你列竖式算了，就错了。当然，这一句经不起推敲，只为加深“变一变，做口算”的印象。
这应当是最为原生态的估算思想。
二、基于对估算的极端错误示例谈估算思想的细化错例1：
式（1）：148÷3＝50
式（2）：148÷3≈150÷3≈50
既然是对原算式做了“变一变”的处理，则原结果被“扭曲”了，等于号“＝”也要扭曲成约等于号“≈”，以示对算式和结果变化的声明，让估算来得光明磊落，而非偷偷摸摸。式（1）显然在蒙骗。式（2）则过于机械，并不理解“＝、≈”在于其连接两端的数量关系。就“148÷3”与“150÷3”之间，应当用“≈”；“150÷3”与“50”之间，应当用“＝”。修改为：
式（1）：148÷3≈50
式（2）：148÷3≈150÷3＝50
式（1）是“直接写出结果”，式（2）则声明了估算过程。
错例2：
456÷7≈455÷7＝65
这个估算的确做到了“变一变”，而且变得很巧妙，因为：456÷7＝65……1，轻轻地将被除数减少余数1，便可以除尽了。再看时，也是不见除法竖式的，尽可以将竖式偷移于“草稿纸”上，形式化地满足了老师提出的估算要求：变一变，无竖式。让人啼笑皆非，属于“照猫画虎型”。
针对这种错误类型，我提出估算的第一原则：简便。
错例3：
251÷3≈3÷3＝1
这是一个臆想的错误类型，一般人不会如此大胆。但从犯错的逻辑上而言，这种错误“可以有”。它满足“变一变”和“简便”的要求，而且“简便”得分外彻底！由于“夸张”的存在，虽然迷惑性强，但不难发现，这是“胡作非为型”，不是在“估算”，而是在“胡算”！
若是：
251÷3≈210÷3＝70
您是否会多一分“宽容”？
其实，二者是一丘之貉，以五十步之笑百步耳。鉴于其“夸张”程度低，可称呼为“舍近求远型”。我们更期望的算法是：
251÷3≈240÷3＝80
这种错误暴露了学习者的至少两种缺陷：
一是在做例如：（ ）×3＜25，括号内最大填几的练习时，不知训练的目的；
二是乘法口诀学习、记忆、应用中的缺陷，只知不管3×7＝21，而不知有3×8＝24。
这时，我给出估算的第二原则：接近。
三、基于口算类型特点反推估算方法只知“思想”，没有“方法”，是不成气候的。以上所列部分错误类型，足见“思想”在领悟过程中的多样性和不靠谱的一面。好的“方法”，承载了“思想”，是“思想”的具体化和实现手段。估算方法的来源应当是基于口算类型特点的分析和口算方法的总结。这是估算知识和口算知识间重要的逻辑关联。
小学生的乘法口算是“分层次递进”的，譬如练功，分布于“第几重境界”，是有差异的。
第一重：一位数乘一位数，即“表内乘法”。形如：1×1、6×7、5×3、9×9……共有81个，因为基于“一个数的最高位不能为0”的规则，单独一个“0”，并不算做“一位数”。这是对全民乘法口算的必须要求。
第二重：整十、整百……数乘一位数。自此而下，皆突破了“九九乘法表”。形如：10×3、60×7、500×3、9000×9……
第三重：整十、整百……数乘整十、整百……数。形如：10×30、60×70、500×300、9000×900……这两重，形式上恐怖，好似一下子口算“多位数乘多位数”。实则简单，只需特殊处理一下因数“末尾的0”，“非0部分”的乘法其实也便是“表内乘法”。
第四重：不进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如：12×4、23×3、122×4、122×40、1230×300……所谓“不进位”，换个角度而言，即“积为10以内的乘法口诀”，有：1×1～9、2×1～4、3×1～3、4×1～2、5×1、6×1、7×1、8×1、9×1，共23句，以“大九九”论，不以“小九九”算。所谓“多位数”，至少是其非0数字在两位以上，包含：120、1020、2300……这些以“几百几十”、“几千几百”……称呼的数，也含：102、23、224……这些“非整十、整百……数”的一般多位数。
第五重：不连续进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如：13×4、24×3、123×4、123×40、1040×300……
第六重：连续进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展。形如：43×4、243×5、405×4、789×40、4040×300……
第七重：特殊数字乘一位数及整十、整百……数的拓展。如：11×4、111×5、22×4、2222×30、25×4、25×70、15×3、150×50、125×8……
以上五、六重，实则纳入了笔算教学范围，第四重同时纳入了口算和笔算教学，第七重其实属于“计算练习的特定经验积累”，类似于为了提高圆周率的计算效率，将3.14×2～9的积背下来一样。
对于小学生的口算乘法要求，以一、二、三重为主，兼及第四重和部分第七重。口算乘法的学习贯穿于乘法学习的整个过程。根据经验，学生对于笔算乘法的障碍也多来源于口算，要么是不能熟练、准确地应用乘法口诀，要么是对于进位乘法中的“乘加口算”不能默算。比如：78×9在计算十位时，需要心算：9×7＋7，初步练习时，这一步多数学生要写下来才能完成。从某种角度上说：不存在所谓严格的笔算，世间只有口算，所谓“笔算竖式”，只不过是合理而有效的将一大堆口算组织、联合了起来。比如：78×65就可以看作是： 5×8、5×70、60×8、60×70这四步口算的组织与联合。
小学口算除法应当是口算乘法的逆运算。因此，整数的口算乘、除法应当具备以下特点：
1.以表内乘法及其整十、整百……数的拓展为主，此时，作为逆运算中被除数的积，要么是整十、整百……数，要么是几百几十……数；
2.以不进位的多位数乘一位数及整十、整百……数的拓展，特殊数字乘一位数及整十、整百……数的拓展为辅。
（重要程度★★★★★）
对于“除数是一位数的除法”的估算，首选的方法是：
①除数不变，变被除数；
②将被除数变为最接近的整十、整百……数。
第一条中，之所以“除数不变”，是因为除数是一位数，以后除数是多位数了，多半也还是要变的，目标也多是整十、整百……数。所以如此不确定，可以构造一例：
713÷24≈750÷25＝30
这是将被除数与除数综合考虑了，由于“数感”良好，经验丰富，便想到了：25×3＝75。若是按部就班，先变除数，再变被除数，则是：
713÷24≈700÷20＝35
713÷24≈800÷20＝40
713÷24≈600÷20＝30
足见，没有“万能”的估算方法。反过来又说明：不要奉某一两种估算方法为圭臬，越是熟练时，就越不受限于具体的一两种估算方法，就越是倚重于估算思想的宏观指导。
由上，估算似乎可以定义为：将不易口算、宜笔算的题目（评判标准：正确率、便捷性和计算速度），近似转化为口算，快速求得大约结果的计算。
（重要程度★★★★★）
回到三年级下册。
估算：267÷3。
由于：260＜267＜270，且267更接近270，给出精度在十位的估算：267÷3≈270÷3＝90；
由于：200＜267＜300，且267更接近300，给出精度在百位的估算：267÷3≈300÷3＝100。
道理同上。教材见于下图：
人教三数下册29页
四、针对不同的计算模型升级估算方法若是只将上面的方法捧为至宝，则会轻易碰壁。
例1：361÷5≈
按上面的方法，有：
精度在十位的估算：361÷5≈360÷5＝？
精度在百位的估算：361÷5≈400÷5＝80
但若是：
361÷5≈350÷5＝70
则结果明显更优。
估算方法升级一：用除数的乘法口诀凑被除数，百位够除凑前一位，百位不够除凑前两位。
例2：500÷7≈
当看到这个估算时，可爱的孩子们会说：“这道题不能估算。”若是有了“估算方法升级一”，则又可以算了。
500÷7≈490÷7＝70
例3：896÷8≈
例4：753÷5≈
这时学生多会做成这样：
896÷8≈800÷8＝100
896÷8≈720÷8＝90
753÷5≈500÷5＝100
753÷5≈450÷5＝90
而我们期望的是这样：
896÷8≈880÷8＝110
896÷8≈888÷8＝111
753÷5≈750÷5＝150
估算方法升级二：用除数的倍数凑被除数。
“甲数是乙数的多少倍”，这样的知识三年级上册学过，见于“倍的认识”。“甲数是乙数的倍数”，严格点，却要等到五年级下册。对于“估算方法升级二”，针对少量的个别题目，我宁愿用11、111、15、25……的口算乘法处理，提醒学生扩大积累口算乘法的经验，培养“数感”（就是一种对于数字的直观感觉，有敏感性，能快速抓住主要特点等）。
人教三数上册50页
人教五数下册5页
以后，对于更多的估算，在基本方法之上，进行补丁升级，基本是一种常态。
估算教学的挑战在于：估算方法本来多样，但成功的教学总是始于固定的估算法则；在协调“变与不变”的过程中，由方法升华到思想，潜藏于意识之中，提升数感，改善行动，则是最终的成功。
（重要程度★★★★★）
五、基于估算过程看待估算结果“估算结果没有对错之分，只有好坏之分”，这几乎是一条共识。阅卷老师或许除外，他们会像我们一样，极为认同用估算的两条原则：简便、接近，去评判一种估算的好坏。
例5：257÷3≈
257÷3≈300÷3＝100
257÷3≈270÷3＝90
257÷3≈240÷3＝80
三种方法都对，但我们都会倾向于第二种，尤其快速、大量阅卷时。
我也会这样做，但我依然认为，这样做在逻辑上是有缺陷的。
事实上，多数情况下，我们无法事先确定或根本无法确定估算结果的“接近程度”。生活中，类似人口数、灯泡寿命、粮食产量、路程、瓶装药片数、饮料容量……都是具有误差的近似数。要么准确数无法获得，如全国人口数；要么准确数令人生疑，如亩产水稻813.624千克；要么以区间表示的数据更为可信，如每瓶装100片，正负差3片以内。总之，若将单纯的针对计算的估算拓展开来，类比于“估计推断”时，过程的合理比结果的评判更为重要！这一条甚至是《概率统计学》的根本特点。
我反对将估算要求为“直接写出得数”，因为您无法确定他是否使用了极端愚蠢的“精算出结果求近似数”的方法。我认为估算必须写出估计的过程，只要过程合理，结果就是对的。
反对写法：257÷3≈90
推荐写法：257÷3≈270÷3＝90
基于“过程”评判时：
257÷3≈270÷3＝90，估大了；
257÷3≈240÷3＝80，估小了。
两个估算都有价值，合并起来，准确结果在区间（80，90）之间，甚而至于折衷点取85，也未为不可。事实上：
257÷3＝85……2
或：
257÷3＝85.6666666666……
六、联系实际问题的估算针对实际问题的估算中，特定的“估算方向”有时候很有用。
仅举两例，不再细究。
例1一年级3个班捐赠图书256册，二年级4个班捐赠图书345册，三年级5个班捐赠图书478册。哪个年级平均每班捐赠图书的册数最多？
见于下图：
人教三数下册32页
若是笔算解决：
①一年级：256÷3＝85（册）……1（册）
②二年级：345÷4＝86（册）……1（册）
③三年级：478÷5＝95（册）……3（册）
④85册＜86册＜95册
答：三年级平均每班捐赠图书的册数最多。
问题是解决了，但是由于三年级学生没有学习小数除法，第④步的比较丢掉了余数，严谨点，这也是逻辑上的缺陷。其实，教材煞费苦心，目的在于引导学生估算解决问题。
正确的估算如下：
①一年级：256÷3≈270÷3＝90（册），估大；
②二年级：345÷4≈360÷4＝90（册），估大；
③三年级：478÷5≈450÷5＝90（册），估小；
④一、二年级平均每班捐赠图书册数在90册以下，三年级在90册以上。
答：三年级平均每班捐赠图书的册数最多。
单纯作为计算时，三年级的估算应当是：
478÷5≈500÷5＝100（册）
然而，问题的要害在于，用估算的结果进行比较大小，无异于缘木求鱼。只有用统一的估算结果加上估算方向的判断，才是可靠的。当三年级平均每班捐赠图书册数估算为100册时，“100册最多”这个结论从逻辑上就有可能是“估大”的策略造成的，反而不能肯定地加以判断。
例2小明一家打算外出旅行1周，爸爸罗列出了每天的费用清单。交通费：82元，住宿费：230元，伙食费：180元，门票费：74元。爸爸应大概准备多少钱？
交通费：82×7≈90×7＝630（元）
住宿费：230×7≈250×7＝1750（元）
伙食费：180×7≈200×7＝1400（元）
门票费：74×7≈80×7＝560（元）
合计：630 1750 1400 560≈700 1800 1400 600＝4500（元）
答：爸爸应大概准备4500元。
这也算是一种可行的答案。实际生活中，根据“谨慎性原则”，支出估大，收入估小，是有道理的。
估算的学习，是一个较长的过程，需要不断地精进。估算意识的培养，数感的形成，估算的主动运用，伴随着生活的全部过程。
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