摘 要：近年来我国已建成较多的矮塔斜拉桥，但其合理成桥状态的确定研究较为不足，并且缺乏有效合理的办法。通过规范中关于全预应力构件的定义导出主梁恒载弯矩可行域计算公式，将此作为目标成桥状态，并利用考虑施工阶段的影响矩阵再结合线性规划法，得到满足主梁恒载弯矩可行域的二次张拉力和成桥索力。以某矮塔斜拉桥为例开展分析，将使用该方法得到合理成桥状态与最小弯曲能法得到的成桥状态带入细化空间杆系有限元模型中。分析结果表明，该方法可明显改善主梁的受力状态，减小主梁的挠度，使墩顶负弯矩和跨中正弯矩显著减小，主梁弯矩图更加均匀。
关键词：桥梁工程;矮塔斜拉桥;合理成桥状态;弯矩可行域;二次张拉力;施工阶段影响矩阵;
基金：国家自然科学基金青年科学基金项目，项目编号51608080;重庆市教育委员会“成渝地区双城基金圈建设”科技创新项目，项目编号KJCXZD2020032;
矮塔斜拉桥属于索辅助梁桥，又称部分斜拉桥，是一种介于连续梁桥和斜拉桥之间的组合体系梁桥，可以在主梁尺寸相同的情况下，获得比连续梁桥和连续刚构桥更强的跨越能力[1]。在矮塔斜拉桥的设计施工中，如何确定成桥索力是一个至关重要的问题。而要达到理想的成桥索力，就必须要先确定一个合理的成桥状态，并且还要考虑到施工阶段的影响。目前，矮塔斜拉桥成桥索力计算的主要方法有刚性支承连续梁法、零位移法、最小弯曲能法、内力平衡法等。陈方[2]指出，刚性支承连续梁法是将拉索对于主梁的支承简化为一个竖向的弹性支承从而根据支承反力得到成桥索力；零位移法假定拉索与主梁锚固点的位移为零，从而得到成桥索力，它们主要考虑了主梁的内力状态和位移，不能很好地兼顾索塔的内力状态和位移，并且采用该方法得到的索力存在不均匀的现象，部分索的索力值可能过大。毛润华[3]指出，最小弯曲能法以结构的弯曲应变能最小为目标函数，得到主梁处于弯矩最小状态时的成桥索力，但该方法不能有效地考虑预应力的效应，对于矮塔斜拉桥这种主梁承担主要荷载的结构来说是不合理的；刘龙[4]等指出，内力平衡法是指在成桥运营后，在各种荷载下主梁、主塔各截面应力均不超过规定的限值，该方法与之前两种方法相比使用的限制更小。不过上述成桥索力的确定方法均未充分考虑施工过程应力叠加的效应，得到的成桥索力未必是考虑施工阶段的合理成桥索力。因此，本文提出基于全预应力构件设计概念的合理成桥状态确定方法和基于施工阶段影响矩阵的矮塔斜拉桥二次张拉力的确定方法，该方法以梁、塔恒载弯矩可行域为目标，保证了主梁应力在合理范围内，优化了塔、梁的受力状态。
1 合理成桥状态确定方法1.1主梁截面上下缘应力限值绝大部分预应力混凝土矮塔斜拉桥主梁为全预应力构件，根据规范[5],要求其正截面受拉边缘在作用频遇组合下不允许出现拉应力。此外，对于预应力混凝土矮塔斜拉桥，为防止其在使用阶段产生开裂，可对截面施加一定的压应力储备，其所对应的正截面最小压应力储备值可取为[6]:
σmin≈(1 L/100) (1)
故截面上、下缘最小压应力限值[σcmin]=-σmin(拉应力为正)。
对于截面上、下缘最大压应力限值[σcmax](拉应力为正),按照规范[5],对于不允许开裂构件，使用阶段正截面混凝土压应力应满足：
σkc σpt≤0.5fck (2)
式中：σkc为作用标准值产生的混凝土法向压应力；σpt为由预加力产生的混凝土法向拉应力；fck为混凝土强度标准值。
故[σcmax]=0.5fck-σpt。
1.2恒载弯矩可行域计算主梁截面上、下缘最小压应力控制条件为：
σtt=−Ny NdA−MdWt σtm≤[σcmin] (3)σbt=−Ny NdA−MdWb σbm≤[σcmin] (4)σtt=-Νy ΝdA-ΜdWt σtm≤[σcmin] (3)σbt=-Νy ΝdA-ΜdWb σbm≤[σcmin] (4)
式中：Ny为主梁截面永存的有效预加力(以压力为正);Nd为自重，二期荷载等其他永久作用在主梁内产生的轴向力(以压力为正);A为主梁的横截面面积；Md为所有永久作用在主梁截面上产生的弯矩(以主梁截面下缘受拉为正);Wt、Wb为主梁截面上下缘的抵抗矩；σtm、σbm为主梁在可变作用和频遇组合下截面上下缘产生最大拉应力。
由式(3)、式(4)可得：
Md≥(σtm−Ny NdA−[σcmin])Wt=Md1Μd≥(σtm-Νy ΝdA-[σcmin])Wt=Μd1 (5)
Md≤(σbm−Ny NdA−[σcmin])Wb=Md2Μd≤(σbm-Νy ΝdA-[σcmin])Wb=Μd2 (6)
同理，可得主梁截面上、下缘最大压应力控制条件为：
σtc=−Ny NdA−MdWt σtn≤[σcmax] (7)σtc=-Νy ΝdA-ΜdWt σtn≤[σcmax] (7)
σbc=−Ny NdA MdWb σbn≤[σcmax] (8)σbc=-Νy ΝdA ΜdWb σbn≤[σcmax] (8)
式中：σtn、σbn为可变作用在频遇组合下在截面上下缘产生最大压应力。
由式(7)、式(8)可得：
Md≥(σtn−Ny NdA−[σcmax])Wt=Md3 (9)Μd≥(σtn-Νy ΝdA-[σcmax])Wt=Μd3 (9)
Md≤(σbn−Ny NdA−[σcmax])Wb=Md4Μd≤(σbn-Νy ΝdA-[σcmax])Wb=Μd4 (10)
令
Mmax=min(Md2,Md4) (11)
Mmin=max(Md1,Md3) (12)
故主梁恒载弯矩可行域为：
Mmin≤M0≤Mmax (13)
当主梁恒载弯矩M0落在可行域之中时，说明主梁在各种荷载作用下截面上下缘正应力满足式(1)、式(3)、式(7)、式(8)的要求[7]。
2 二次张拉力确定2.1施工阶段的结构影响矩阵影响矩阵法实质是矮塔斜拉桥在满足线性叠加原理的基础上，利用结构力学中的力法方程，建立施调向量与受调向量之间的关系，并设置约束条件，进行求解的方法，它由以下几部分组成。
(1)受调向量：由结构物中需要控制约束的m个独立的物理量所组成。过程中向量值可调，以不断接近人为设定的目标值或目标区间。受调向量记为：
{D}=(d1,d2,d3,…,dm)T (14)
(2)施调向量：结构物中可以调整量值以改变受调向量的l个独立物理量(l≤m)所组成的列向量，一般为所求未知量，记为：
{X}=(x1,x2,x3,…,xl)T (15)
(3)影响向量：在施调向量各个元素量值发生单位变化所产生的受调向量{D}的变化向量，记为：
{C}=(c1j,c2j,c3j,…,cmj)T (16)
(4)影响矩阵：将各影响向量经过依次排列之后形成的矩阵[8],记为：
[C]=[C1,C2,C3,⋯,Cl]=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜c11c21⋮cm1c12c22⋮cm2⋯⋯⋱⋯c1lc2l⋮cml⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ (17)[C]=[C1,C2,C3,⋯,Cl]=(c11c12⋯c1lc21c22⋯c2l⋮⋮⋱⋮cm1cm2⋯cml) (17)
若结构满足线性加原理，则有：
[C]{X}={D} (18)[C]{X}={D} (18)
矮塔斜拉桥要达到设计的成桥索力，一般需要在悬浇阶段斜拉索初次张拉后，在成桥阶段进行第二次索力的张拉或调整。但由于各种条件的限制，所有斜拉索不可能一次性同时张拉到位，一般做法为分批对称张拉，这就使斜拉索的二次张拉具有一定的先后顺序，使得各索在张拉时会对其他索的索力产生影响，各索的索力并不是独立的。因此，直接采用影响矩阵法会使计算结果与实际情况产生较大的误差。要想得到准确的索力张拉值，就需要应用考虑施工阶段的影响矩阵。
假定满足线弹性的矮塔斜拉桥有i号索，同时第i号索在b施工阶段进行张拉，那么在施工阶段k(k≥b)第i号索的索力与以下量有关：
(1)第i号拉索的初张拉力；
(2)b阶段到k阶段中各阶段荷载对i号索力的影响；
(3)在b阶段到k阶段中张拉的拉索对i号索索力的影响；
(4)b阶段到k阶段中边界条件变化对i号索力的影响。
由于在斜拉索二次张拉中不存在边界条件的变化和除拉索张拉以外的施工阶段荷载，故只需考虑拉索i自己在b阶段的二次张拉和b阶段到k阶段中各施工阶段拉索张拉的影响[9]。
根据以上影响因素，最终确定施工张拉力的影响矩阵方程为：
[A]{X0}={X} (19)[A]{X0}={X} (19)
式中：[A]为二次索力张拉对成桥索力值的影响矩阵；{X0}为二次张拉索力向量；{X}为成桥索力。
将式(19)代入式(18)得：
[C][A]{X0}={D} (20)[C][A]{X0}={D} (20)
令[C][A]=[B],得到：
[B]{X0}={D} (21)[B]{X0}={D} (21)
式中：[B]为考虑施工过程的二次调索影响矩阵。
根据这种方法，可以在确定施工顺序的情况下，得到二次张拉各索力张拉值与成桥内力、应力或位移等量值的关系。
2.2线性规划法求解张拉力线性规划是数学规划里面一个重要的分支，也是一种比较简单的优化方法。线性规划过程中涉及到约束条件和目标函数，其基本原理就是在满足约束条件的前提下使得目标函数达到极值，从而求解最佳参量的过程。其中约束条件可以是由一个或多个线性方程或者线性不等式组成。由于数学分析方法对应用领域并没有限制，因此线性规划同样可以应用于线性约束的优化求解问题上[10]。
将式(21)中的向量{D}视为主梁各截面的恒载弯矩{M0}并代入式(13),得：
Mmin≤[B]{X0}≤Mmax (22)Μmin≤[B]{X0}≤Μmax (22)
式(22)可将式(21)中的无约束优化问题转化为有约束的优化问题。选取全桥二次张拉量最小为目标函数，可将式(22)改写为：
minf(X0)=(∑X20)s.t.{[B]{X0}≤Mmax[B]{X0}≥Mmin (23)minf(X0)=(∑X02)s.t.{[B]{X0}≤Μmax[B]{X0}≥Μmin (23)
式中：f为线性规划的目标函数。
由此可解出满足约束条件且全桥二次张拉量最小的一组解。此外，针对主塔的受力与拉索的应力限制，也可以增加适当系数矩阵和约束条件来满足。
3 矮塔斜拉桥合理成桥状态确定和索力优化步骤根据以上分析，矮塔斜拉桥合理成桥状态确定和索力优化可按照以下步骤进行。
(1)建立一次成桥有限元模型。
(2)根据最小弯曲能量法或其他方法求出其成桥索力。
(3)按照实际施工建立包含施工阶段有限元模型并且计入收缩徐变，并得到结构在二次张拉之前的状态。
(4)计算活载作用下可变荷载(车辆荷载、温度、风等)分别产生的应力，得到活载应力包络图。
(5)确定主梁上、下缘应力限值，以主梁正截面最小压应力储备为应力上限，以规范[5]规定的正截面压应力限值为应力下限(也可根据情况增加一些安全储备),减去活载、收缩徐变及支座沉降等作用的产生的应力，得到恒载应力可行域。再根据式(3)～式(13)计算出恒载弯矩可行域。
(6)在有限元模型中，按照二次张拉的顺序依次施加单位索力并且提取出每次施加单位索力对其他索索力和主梁弯矩的影响向量，按照式(19)～式(21)计算考虑施工的二次调索影响矩阵。设置主梁恒载弯矩可行域及拉索应力等约束向量，运用Matlab中的函数linprog来求解线性规划问题，计算二次张拉力向量函数如下：
[X0,fval]=linprog(f,A,b,LB,UB,X0) (24)
式中：f是由目标函数构成的向量；A、b分别是影响矩阵和弯矩可行域的向量；LB、UB分别是索力张拉和放松最大值；X0是给定变量的初始值。
返回值中：X0是解向量，即二次索力张拉值；fval是计算后得到的满足目标函数值最优解。由此可得到二次张拉索力值向量X0,并将其带入式(19)可得到成桥索力向量X。
(7)将求得的索力代入包含施工阶段的有限元模型中，验证是否满足弯矩可行域及其他控制条件。
4 算例验证4.1工程背景及技术参数某桥是一座双塔三跨的单索面预应力混凝土矮塔斜拉桥，立面布置如图1所示，跨径布置117 m 225 m 117 m, 主梁采用C60混凝土，主塔采用C30混凝土。主梁为单箱三室截面。顶板标准段宽24.0 m, 右侧边跨变宽段采用仅加宽翼缘板的方式适应路线变宽，顶板宽度为24～26 m; 跨中主梁高3.2 m, 主梁墩顶梁高7.8 m。边跨支点顺桥向等梁高段长33 m, 中跨跨中顺桥向等梁高段长57 m, 其余变梁高段主梁高度按照1.8次抛物线变化。主塔与主梁之间固结，主塔为矩形变截面，梁上索距为4 m, 塔上索距为0.8 m, 全桥共有60对拉索，编号如图1所示。该桥主梁采用悬臂挂篮浇筑施工，在有索区每施工一节段后挂索进行初张拉，待成桥后进行二次张拉，张拉顺序为：先长索后短索，两侧同步对称张拉。
图1 矮塔斜拉桥立面布置
4.2计算模型在有限元分析软件Midas/Civil中建立该桥上部结构的空间杆系有限元模型，如图2所示。结合该桥实际情况，因此采用一般支承作为主梁的边界条件。主梁、索塔采用梁单元模拟，斜拉索由于长度不长，非线性效应不明显，故采用只受拉的桁架单元模拟，无需进行刚度修正。拉索与主梁和主塔的锚固采用弹性连接中的刚性连接。
图2 全桥有限元模型
4.3计算结果及分析(1)建立一次成桥模型，并将主梁抗弯刚度缩小105倍[11,12,13],得到采用最小弯曲能法的成桥索力，如图3所示。
图3 最小弯曲能法成桥索力值
(2)施加各种可变荷载，计算在车辆、支座沉降、温度等各自作用下产生的可变荷载应力包络图，按照规范[5]规定的全预应力构件的要求进行组合，主梁截面可变荷载应力可行域如图4所示。
图4 梁截面可变荷载应力可行域
(3)按照前文所述方法得到截面上、下缘应力的最大值、最小值，由此计算出主梁各截面上下缘应力的包络图，再按照上文公式得到主梁各截面恒载弯矩可行域，如图5所示。
图5 主梁荷载弯矩可行域
(4)将最小弯曲能法得到的索力代入施工阶段的计算模型中，得到在未进行优化时成桥阶段主梁的弯矩值，如图6所示。同时，利用Midas/Civil按照先长索、后短索的张拉顺序，提取二次张拉施工阶段的影响矩阵。之后以主梁弯矩可行域、主塔弯矩值和拉索容许应力等作为约束条件，以全桥二次张拉量最小为目标函数，运用Matlab中的优化工具箱中线性规划的功能得到了二次张拉力(正表示张拉索力，负表示放松索力)和成桥索力，如表1、图6所示，并且将得到的优化后索力代入有限元模型中计算得到优化后成桥阶段弯矩值，如图7所示。
由图6与图3比较可以看出，优化后索力的均匀性和变化趋势基本没有改变，但索力值增加约6%～7%。由图7可以看出，在未进行优化前的初始成桥索力无法全部落在弯矩可行域内，不能满足主梁弯矩可行域的要求。而在进行优化后主梁正负弯矩峰值明显减小，弯矩图整体更加均匀，并且恒载弯矩可以完全落在弯矩可行域内，满足要求。
表1 二次张拉力
|
索号 |
张拉力kN张拉力kΝ |
索号 |
张拉力kN张拉力kΝ |
索号 |
张拉力kN张拉力kΝ |
索号 |
张拉力kN张拉力kΝ |
|
C1′ |
-73 |
S4′ |
-81 |
S8 |
114 |
C12′ |
177 |
|
C1 |
76 |
C5′ |
-87 |
S8′ |
-103 |
S12 |
167 |
|
S1 |
77 |
C5′ |
94 |
C9′ |
-119 |
S12′ |
-147 |
|
S1′ |
-74 |
S5 |
92 |
C9′ |
131 |
C13′ |
-174 |
|
C2′ |
-75 |
S5′ |
-85 |
S9 |
125 |
C13′ |
197 |
|
C2′ |
79 |
C6′ |
-93 |
S9′ |
-112 |
S13 |
185 |
|
S2 |
80 |
C6 |
101 |
C10′ |
-130 |
S13′ |
-162 |
|
S2′ |
-76 |
S6 |
98 |
C10′ |
144 |
C14′ |
-192 |
|
C3′ |
-78 |
S6′ |
-90 |
S10 |
137 |
C14′ |
217 |
|
C3′ |
83 |
C7′ |
-100 |
S10′ |
-122 |
S14 |
204 |
|
S3 |
83 |
C7′ |
109 |
C11′ |
-143 |
S14′ |
-178 |
|
S3′ |
-78 |
S7 |
105 |
C11′ |
160 |
C15′ |
-210 |
|
C4′ |
-82 |
S7′ |
-96 |
S11 |
150 |
C15′ |
239 |
|
C4′ |
87 |
C8′ |
-108 |
S11′ |
-133 |
S15 |
224 |
|
S4 |
87 |
C8′ |
119 |
C12′ |
-157 |
S15′ |
-195 |
图6 优化后成桥索力
图7 优化前后主梁弯矩
优化后主梁上、下缘应力差减小，全桥应力分布更加均匀，如图8所示，尤其是在边跨靠近中支点1/2跨内和中跨1/4处到中跨3/4处减少尤为明显。
图8 优化前后主梁上下缘应力
(5)恒载作用下，主梁的挠度在采用该合理成桥状态进行优化后与最小弯曲能法对比情况如图9所示。可以看出，优化后主梁的跨中挠度明显变小，而对边跨的挠度影响不显著。可见，通过对该合理成桥状态优化，可以改善矮塔斜拉桥局部线形的变化情况，使得主梁线形更加接近设计的成桥状态。
图9 主梁恒载挠度
5 结语(1)为改善矮塔斜拉桥成桥后受力性能，有必要对初始成桥索力进行优化。在优化前主梁弯矩无法完全落在弯矩可行域中，导致主梁可能在各种荷载作用下产生拉应力或开裂；而优化后主梁弯矩完全在可行域内，主梁产生拉应力的风险减小。总体来说，优化后的成桥恒载弯矩正负峰值，弯矩图更加平滑、均匀，主梁的受力更加合理。
(2)在该成桥状态下，主梁上、下缘的应力更均匀，截面更加接近于纯压的状态。此外，在关键位置处(如跨中截面下缘等位置)有更多的压应力储备，可以更好地抵抗活载产生的拉应力。这说明，由主梁的弯矩可行域可有效将截面的应力约束在一个合理的范围。
(3)在该成桥状态下，对矮塔斜拉桥的成桥线形也有一定的影响。优化后索力增大，中跨的挠度减少了接近10 cm,而边跨挠度减少不明显。
(4)使用此种成桥状态控制方法，可以在索力变化较小的情况下有效地改善主梁截面内力、应力和挠度。
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