数学必修1知识点
1. 集合的含义及表示
1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性；
（2）元素的互异性；
（3）元素的无序性
3、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ??表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ??表示元素 如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A，如果a不属于集合A 记作 a?A
4、常用数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或 N ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R
5、集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（Venn图）
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
2.
函数
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
2、定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；
(6)指数为零底不可以等于零；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）;
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
高一数学上第一章集合与函数概念单元检测题一
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题
1．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M＝．
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
2．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是图中的．
3．下列集合不能用区间形式表示的是．
①A＝{1,2,3,4} ②{x|x是三角形} ③{x|x>1，且x∈Q} ④ ⑤{x|x≤0，或x≥3} ⑥{x|2<x≤5，x∈n}< span>
A．①②③ B．③④⑤
C．⑤⑥ D．①②③④⑥
4．若集合A＝{6,7,8}，则满足A∪B＝A的集合B有________个．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∪(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A等于．
A．{1,2} B．{2,3} C．{1,4} D．{3,4}
6．函数y＝x2－2x＋3(－1≤x≤2)的值域为．
A．R B．[2,6] C．[3,6] D．[2，＋∞)
7．设集合M＝{2,3，a2＋1}，N＝{a2＋a－4,2a＋1，－1}且M∩N＝{2}，则a的取值集合是．
A．{－3} B．{2，－3} C．{－3， } D．{－3,2， }
8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则x等于．
A．－3或2 B．
C．－3或1 D．－2或－3
9．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是．
A．增函数，且最小值为－5
B．增函数，且最大值为－5
C．减函数，且最小值为－5
D．减函数，且最大值为－5
10．设f(x)是奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤m(m<0)，则f(x)的值域是．
A．[m，－m] B．(－∞，m]
C．[－m，＋∞) D．(－∞，m]∪[－m，＋∞)
二、填空题
11．若集合A＝{x|kx2－4x＋4＝0}只有一个元素，则集合A＝________.
12．如果奇函数y＝f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，那么使f(x－1)<0的x的取值范围是________．
13．若函数 (x∈R)的值域为[－1,4]，则a＝________，b＝________.
14．张老师给出一个函数y＝f(x)，让四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质：
甲：对于x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)；
乙：在(－∞，0)上为增函数；
丙：在(0，＋∞)上为增函数；
丁：f(0)不是函数的最小值．
现已知其中的三个说法是正确的，则这个函数可能是________．(只需写出一个适合条件的即可)
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b为偶函数，求实数a的值．
16．设函数 求f(2 010)的值．
17．已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
18．求函数y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]的值域．
答案与解析
1.答案：B
解析：∵P＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，
M＝{x∈R|x2≤9}＝{x∈R|－3≤x≤3}，
∴P∩M＝{0,1,2}∩{x∈R|－3≤x≤3}＝{0,1,2}．
2.答案：A
解析：根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”的对应才能构成函数关系．
3.答案：D
解析：根据区间的意义知只有⑤能用区间表示，其余均不能用区间表示．
4.答案：C
解析：由A∪B＝A知B⊆A，
∴集合B可以是： ，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}．
5.答案：D
解析：如图所示：
∵(∁UA)∪(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，
∴∁UA＝{1,2}，
∴A＝{3,4}．
6.答案：B
解析：画出函数图象，观察函数的图象，可得图象上所有点的纵坐标的取值范围为[2,6]，所以值域为[2,6]．
7.答案：C
解析：∵M∩N＝{2}，
∴有a2＋a－4＝2或2a＋1＝2.
(1)当a2＋a－4＝2时，a＝2或a＝－3.
若a＝2，则M＝{2,3,5}，N＝{2,5，－1}，与M∩N＝{2}矛盾．
若a＝－3，则M＝{2,3,10}，N＝{2，－5，－1}满足M∩N＝{2}．
(2)当2a＋1＝2时， ，此时 ， ，满足M∩N＝{2}；
∴a＝－3或 .
8.答案：A
解析：当3x2＋3x－4＝2时，3x2＋3x－6＝0，x2＋x－2＝0，x＝－2或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2时，
x2＋x－6＝0，x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
9.答案：B
解析：根据奇函数的性质画出示意图．据图可知f(x)在[－7，－3]上是增函数，且最大值为－5.
10.答案：D
解析：当x≥0时，f(x)≤m；
当x≤0时，－x≥0，f(－x)≤m，
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)≤m.
∴当x≤0时，f(x)≥－m.
11.答案：{1}或{2}
解析：当k＝0时，原方程变为－4x＋4＝0，解得x＝1，此时集合A＝{1}，
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－4x＋4＝0有一个实根，需 ，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝2，集合A＝{2}，满足题意．
12.答案：(－∞，0)∪(1,2)
解析：∵x>0时，f(x)＝x－1，且f(x)为奇函数，
∴f(x)的图象关于原点(0,0)对称．令F(x)＝f(x－1)，
则F(x)的图象关于点(1,0)对称，
不等式F(x)<0的解为x<0或1<x<2.< span>
13.答案：±4 3
解析：设 ，则yx2－ax＋y－b＝0，y≠0，
因x∈R，所以 ，
即 ，
易知－1≤y≤4是不等式(y＋1)(y－4)≤0的解，
即y2－3y－4≤0，
所以a＝±4，b＝3.
14.答案：f(x)＝(x－1)2
解析：四个条件分别指函数的对称轴、单调性、最值，f(x)＝(x－1)2适合甲、乙、丁三个性质．
15.解：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴(－x)2＋a×(－x)＋b＝x2＋ax＋b.
∴－a＝a.∴a＝0.
16.解：∵
∴f(2 010)＝f(2 010＋4)＋1＝f(2 014)＋1，
f(2 014)＝f(2 014＋4)＋1＝f(2 018)＋1，
f(2 018)＝f(2 018＋4)＋1＝f(2 022)＋1，
f(2 022)＝2 022－3＝2 019，
f(2 018)＝2 019＋1＝2 020，
f(2 014)＝2 020＋1＝2 021，
f(2 010)＝2 021＋1＝2 022.
17.解：∵ ，∴ ，∴ .
设全集 ．
若方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1、x2均非负，则
解得－3≤m≤－1.
∵集合{m|－3≤m≤－1}在U中的补集为{m|m<－3}．
∴实数m的取值范围为{m|m<－3}．
18.
解：(方法一：配方法)∵ ，f(1)＝4，f(3)＝26，
∴y＝3x2－x＋2在x∈[1,3]上的值域为[4,26]．
(方法二：数形结合法)画出函数图象，f(1)＝4，f(3)＝26.
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