一道高中题-求杯子的高度

玻璃杯的开口半径为3/2个单位,底部半径为1个单位,整个杯子呈圆台形。如果这个杯子盛100π立方单位的水,这个玻璃杯该有多高?

一道高中题-求杯子的高度(一道高中题-求杯子的高度)(1)

解:这里给出两种解题思路,

方法一:直接利用圆台的体积公式, 参见头条文章棱台的体积和圆台的侧面积。

一道高中题-求杯子的高度(一道高中题-求杯子的高度)(2)

将r1=1, r2=3/2带入上面的公式,

100π=πH(1 3/2 9/4)/3

由此得出H=1200/19

方法二:利用圆台是两个圆锥的体积之差,

首先利用相似三角形,可以求出延长后的圆锥的高,

如图所示x是延长后下部分棱锥的高。

一道高中题-求杯子的高度(一道高中题-求杯子的高度)(3)

这里存在两个相似三角形。

根据 3/2=(h x)/x

解得x=2h

这样大圆锥的高为3h, 小圆锥的高为2h,因此体积之差为:

一道高中题-求杯子的高度(一道高中题-求杯子的高度)(4)

由此解出h=1200/19

实际上方法1的公式就是利用方法2计算方法的推导出来的。

在方法一中,虽然利用了圆台的体积计算公式,但其来源是棱台的体积公式的特例。

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