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9月8日和9月10日,著名华人数学家,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改),引发数学社交圈的讨论。

陶哲轩3x1猜想结果 陶哲轩发布部分解决3x(1)

考兰兹猜想,俗称3x 1,说的是这样一个猜想:

对于一个初始的正整数,如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1。这样将得到一个新的数字,再把这个新得到的数做之前重复的操作——如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1,然后又继续得到一个数。这样的操作一直重复下去,我得到一串正整数的数列。3x 1说,无论最早的初始正整数是多少,这一串数列最终都会进入4,2,1,4,2,1,....这样的循环。

比如,我们用10作为初始正整数:

因为10是偶数,所以除以2,得到5。

因为5是奇数,所以乘以3加上1,得到16。

因为16是偶数,所以除以2,得到8。

因为8是偶数,所以除以2,得到4。

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

因为1是奇数,所以乘以3加上1,得到4。

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

……

陶哲轩3x1猜想结果 陶哲轩发布部分解决3x(2)

我们可以把3x 1猜想的表述改变一下,设初始正整数是n,上述操作得到的数列中一定有个最小值S(n)。那么3x 1猜想就是说S(n)=1。

于是,很多数学家开始研究S(n)的性质,比如去寻找S(n)可能的上界f(n),即S(n)≤f(n)。

1976年,Terras证明了,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n。

1979年,Allouche证明了,对任意a>0.869,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a(x^a表示x的a次方,下同)。

1994年,Korec证明了,对任意a>ln3/ln4≈0.7924,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a。

这一次,陶哲轩发表的结果是对上述一些成果的改进,他试图证明,只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列,那么几乎对所有的正整数n(在对数密度意义下).有S(n)<f(n)。

陶哲轩还特别指出,这个结论中的f(n)可以是增长非常慢的的数列,比如f(n) = lnlnlnln(n)。

陶哲轩的文章引起了社交圈的讨论,比如著名的网红橄榄球球员数学家Urschel转发了陶哲轩的博文,并感慨自己虽然同样是做数学的却做不到这种深度。

在众多讨论中,一位来自美国新泽西州立罗格斯大学数论教授Kontorovich唱起了“反调”。他的观点是,应该想办法去证明3x 1猜想是错的。

注意到,就算按这个思路把右边的f(n)改进成了f(n)=2也不能说3x 1被证明了。因为结论有“几乎”的表述,比如自然密度意义下,几乎所有的正整数都是合数,但谁都知道素数(质数)有无穷多个。陶哲轩自己也在博客评论区发言说,把“几乎所有”变成“所有”似乎还有巨大的鸿沟要跨越。

按Kontorovich的想法,这些“几乎”不存在的反例可能真正存在。并引用了自己之前的一些研究结论,以及Conway对3x 1猜想推广的一些结论来佐证自己的直觉。

Kontorovich说多年来他一直试图通过构造一些“奇怪”性质初始值来推翻3x 1猜想,未果。并呼吁包括博学者计划(PolyMath)在内的数学组织来一起找反例。英国数学家,同样是菲尔兹奖得主的高尔斯也参与了Kontorovich教授的讨论。

陶哲轩3x1猜想结果 陶哲轩发布部分解决3x(3)

由于陶哲轩的论文题目和论文结论都多次用到“几乎”(almost)字样,于是网上出现了“陶哲轩几乎证明了考兰兹猜想”为标题的文章。高尔斯认为如果这样表述陶哲轩的结果,就是假新闻。

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