矩阵与多维向量的区别（深入了解矩阵和向量的实际意义）

• 向量是指具有大小和方向的量。
• 方向是原点到期坐标的连线。
• 假设在二维平面有一个点 x = 2, y = 1

• 向量的模也成为向量的大小，它是一个标量。
• 对于二维向量（1，2），它的模为根号5

• 对于n维向量的大小计算

• 点乘的结果是一个标量
• 叉乘的结果是一个向量

v = np.array([2,1]) s = np.array([-3,2]) d = np.dot(v,s) # 方法名是 dot print(d) print(v @ s) # 或者直接用 @ 操作符

• 向量的点乘可以用来计算两个向量的夹角

v = np.array([2,1]) s = np.array([-3,2]) vMag = np.linalg.norm(v) # 计算标量 sMag = np.linalg.norm(s) cos = (v @ s) / (vMag * sMag) # 点乘除标量积是余弦 theta = math.degrees(math.acos(cos))

• 对角线都为1的矩阵叫做单位矩阵

可见变换T是一个从二维实数向量向另一个二维实数向量的变换，输出向量的维度可以和原向量不同。

import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline v = np.array([1,0]) A = np.array([[0,-1], [1,0]]) t = A@v vecs = np.array([v,t]) origin = [0], [0] plt.axis('equal') plt.grid() plt.ticklabel_format(style='sci', axis='both', scilimits=(0,0)) plt.quiver(*origin, vecs[:,0], vecs[:,1], color=['orange', 'blue'], scale=10) plt.show()

cos, sin, pi = math.cos, math.sin, math.pi def rotate(a): return np.array([[cos(a), -sin(a)], [sin(a),cos(a)]]) v = np.array([1,0]) alpha = pi/5 # 旋转36° beta = pi/4 # 旋转45° gamma = pi/3 # 旋转60° vecs = np.array([v, *[rotate(a)@v for a in [alpha, beta, gamma]]]) origin = [0], [0] plt.axis('equal') plt.grid() plt.ticklabel_format(style='sci', axis='both', scilimits=(0,0)) plt.quiver(*origin, vecs[:,0], vecs[:,1], color=['r', 'b', 'm', 'g'], scale=10) plt.show()

原文地址：https://github.com/microsoft/ai-edu/blob/master/A-基础教程/A1-PythonBasic/math_intro/03_线性代数.ipynb。

看完这篇文章，我更加理解了向量和矩阵相乘的实际意义。

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