函数列与函数项级数（二）
在上一期我们聊了一下函数列以及它的收敛性，在这一期我们将讨论如何判定函数列的一致收敛。为了大家能够更好地理解下面的内容，我们先回忆一下函数列一致收敛的定义。
一致收敛的定义：我们首先给出一致收敛的定义：设函数列 与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有
＜ε
则称函数列
在D上一致收敛于f，记作
判断一致收敛的方法有两个：
1.柯西一致收敛判别准则
函数列在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给正数ε，总存在正数N，使得当n、m＞N时，对一切x∈D，都有
＜ε
当一个函数列一致收敛于函数时，根据一致收敛的定义我们可以知道若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有
＜ε
必然也会存在一个正数m，且m﹥N但是n≠m，使得 ＜ε
所以，=
≤
＜ε ε=2ε
从而 ＜2ε
为了方便结果的好看我们可以令 ＜， ＜
这样就有了 ＜ε
当一个函数列满足条件“对任给正数ε，总存在正数N，使得当n、m＞N时，对一切x∈D，都有 ＜ε”时，我们可以联想到数列收敛的柯西准则，
我们任取∈D，则数列有
当n、m＞N时，有 ＜ε
所以数列收敛
令,则＜ε
由于是我们在D中任意取的一个数，所以对任意一个x∈D都满足
＜ε再根据函数列一致收敛的定义可知函数列在数集D上一致收敛。
2.函数列在数集D上一致收敛于函数的充要条件为：
＜ε,x∈D
这个定理是最常用的，前提是我们必须知道函数列的具体表达式。
当函数列在数集D上一致收敛于函数时，根据函数列一致收敛的定义我们有
对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有
＜ε
所以，再根据上确界的定义我们可以得到＜ε
从而有 ＜ε
当函数列满足条件“＜ε,x∈D ”时，我们可以知道
对任意ε＞0，存在N，当n＞N时，有 ＜ε，x∈D
所以，当n趋近于无穷大时，我们有
≤ ＜ε，x∈D
所以， ＜ε
根据函数列一致收敛的定义可知，函数列一致收敛于函数。
在下一期我们将要讨论函数项级
,
