函数列与函数项级数(二)

在上一期我们聊了一下函数列以及它的收敛性,在这一期我们将讨论如何判定函数列的一致收敛。为了大家能够更好地理解下面的内容,我们先回忆一下函数列一致收敛的定义。

一致收敛的定义:我们首先给出一致收敛的定义:设函数列 与函数定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时,对一切x∈D,都有

<ε

则称函数列

在D上一致收敛于f,记作

考研数学2考无穷级数吗(考研数学函数项级数一致收敛的判定方法)(1)

判断一致收敛的方法有两个:

1.柯西一致收敛判别准则

函数列在数集D上一致收敛的充要条件为:对任给正数ε,总存在正数N,使得当n、m>N时,对一切x∈D,都有

<ε

当一个函数列一致收敛于函数时,根据一致收敛的定义我们可以知道若对任给的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时,对一切x∈D,都有

<ε

必然也会存在一个正数m,且m﹥N但是n≠m,使得 <ε

所以,=

<ε ε=2ε

从而 <2ε

为了方便结果的好看我们可以令 <, <

这样就有了 <ε

当一个函数列满足条件“对任给正数ε,总存在正数N,使得当n、m>N时,对一切x∈D,都有 <ε”时,我们可以联想到数列收敛的柯西准则,

我们任取∈D,则数列有

当n、m>N时,有 <ε

所以数列收敛

令,则<ε

由于是我们在D中任意取的一个数,所以对任意一个x∈D都满足

<ε再根据函数列一致收敛的定义可知函数列在数集D上一致收敛。

2.函数列在数集D上一致收敛于函数的充要条件为:

<ε,x∈D

这个定理是最常用的,前提是我们必须知道函数列的具体表达式。

当函数列在数集D上一致收敛于函数时,根据函数列一致收敛的定义我们有

对任给的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时,对一切x∈D,都有

<ε

所以,再根据上确界的定义我们可以得到<ε

从而有 <ε

当函数列满足条件“<ε,x∈D ”时,我们可以知道

对任意ε>0,存在N,当n>N时,有 <ε,x∈D

所以,当n趋近于无穷大时,我们有

≤ <ε,x∈D

所以, <ε

根据函数列一致收敛的定义可知,函数列一致收敛于函数。

在下一期我们将要讨论函数项级

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