全等三角形太难了？不会添加辅助线？
在全等三角形的证明题中，经常会遇到证明“关系”的题目。“关系”一般包括“数量关系”和“位置关系”，常见的“数量关系”为相等，有些题目也考查倍数关系、和差关系；常见的“位置关系”为平行或垂直，还有一种比较特殊的关系，那就是垂直平分。本篇主要介绍“位置关系”中的垂直。证明垂直暂时有两种方法，先介绍其中一种证明垂直常用的方法，那就是通过证明两个锐角互余进而证明垂直，当然有时也可以选择利用“8”字形进行证明。
例题1：已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．

分析：先通过HL定理（斜边—直角边定理）证明△ACE≌△BCD，可得到∠CAE=∠CBD，由∠CAE ∠AEC=90°，∠AEC=∠BEF，推出∠CBD ∠BEF=90°。在三角形中，两个锐角互余，即可得到另外一个角为直角，即可证明两条线段垂直。
本题也可借助“8”字形，通过全等可得∠EAD=∠CBD，再加上对顶角相等（∠AEC=∠BEF），即可得到∠BFE=∠ACE=90°。
证明两个直角三角形全等需要找准判定定理，不能看到直角三角形就用HL定理，前面学习的SAS、ASA、AAS等定理也可以使用，两个直角三角形需要满足斜边对应相等，和一条直角边对应相等时才能利用HL定理证明两个直角三角形全等。
例题2：已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF
分析：已知△DAE与△ABF为直角三角形，本题所给的条件为AD=AB、AE=BF，两条都是直角边，不能用HL定理证明，应该用SAS证明两个三角形全等。由此得到∠BAF=∠ADE，由于∠BAF ∠DAF=90°，通过等量代换得到∠ADG ∠DAG=90°，从而可以证明DE⊥AF。
如果题目中证明两条线段的“关系”，那么还需要证明两条的数量关系，即证明AF=DE。
例题3：如图，在等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°，在等腰直角三角形EOF中，∠EOF=90°，连接AE，BF．求证：AE⊥BF．

分析：两个三角形都为等腰直角三角形可得OA=OB、OE=OF，借助“手拉手模型”可发现证明△AOE≌BOF，由∠AOB=∠EOF=90°同时减去∠BOE得到∠AOE=∠BOF（等角加减等角得等角，隐含条件之一），通过“SAS”可证明两个三角形全等。要证明AE⊥BF，可先延长AE交BF于点D，通过证明两个锐角互余得到结论。
在后续的学习过程中，还会学习其它证明垂直的方法。
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