愚人节期间，我们哆嗒和往年一样，发了一篇愚人节的整蛊文章《素数公式发现，所有数学之谜即将揭开》，没想到大家和我们一起玩的很嗨，真是一个欢乐的愚人节。
文章中我们写出了下面这样一个公式，并说它是第n个素数p(n)的表达式：
文章还专门解释了方括号[x]是取整函数，p!表示阶乘，并规定0! = 1。
欢乐归欢乐，因为愚人节的关系很少有人注意到我们贴出的公式本身是不是对的。
在这里，我们哆嗒数学网的小编负责人的说，如果只从等式两端是否相等的角度来说，这绝对是如假包换、童叟无欺、“珍珠”都没这么真的素数公式。整篇文章，也许就这个公式是靠谱的。
这个公式其实写进了不少数学科普书，要解释它也很容易。
说来奇怪，按照一般人的标准课程，我们大多数人对数学中数论知识的学习都集中在小学。到了初中、高中除了一些竞赛需求，几乎不怎么学习数论了。到了大学，也只有部分专业的同学才学习初等数论。
初等数论中，有很多有趣的知识，和数数差不多，也就是我们解释这个公式的重点。
公式有两个“连加号”Σ，也就是我们要解释的重点。
数素数的π(x)函数
给定一个整数x，我们把不超过x的素数的个数表示为π(x)这个函数。比如不超过6的素数有2、3、5三个，那么π(6) = 3 。 不超过11的素数有2、3、5、7、11这5个素数，于是π(11) = 5。
这样，很容易看出，如果是第n个素数p(n)，π(p(n)) = n, 而且x < p(n) 时候π(x) < n(即π(x) ≤ n-1), x ≥ p(n)的时候π(x) ≥ n 。
这个时候π(x) 还只是数数游戏的，我们需要表示成一种只有加减乘除的东西。
利用威尔逊定理把π(x)函数表示出来
学过初等数论的同学们都知道一个叫做威尔逊定理的命题：
p是素数或1，当且仅当 (p-1)! 1是p的倍数。不止如此，当p是大于4合数的时候(p-1)!还是p的倍数。
有了这个，我们可以分析分母了那个连加号了。
我们先看分母上连加号的内部：
这里，k=1的时候，上面的式子值是1。
根据威尔逊定理，当k是合数的时候，[(k-1)!/k]是整数，所以方括号可以去掉。上面式子的值其实是[1/k]。对于正整数，值是0。
当k是素数的时候，(k-1)!/k = ((k-1)! 1)/k - 1/k，所以对右边的方括号做一些简单变换，可以得到整个式子是值是1。
所以当连加号的k从1跑遍j的时候，实际上是一堆1和一堆0的加总。k是素数或1的时候是1，合数的时候是0。这些1加起来正好是不超过j的素数的个数加上1，即1 π(j) 。
伯特兰-切比雪夫定理、π(x)和素数公式
我们已经把开头的式子改写了成下面的样子了：
看看连加号内部根号下的部分，
这是一个关于j的递减的式子，关键点在j = p(n) 这一处。当j ≥ p(n)的时候π(j) ≥ n，分子小于了分母，取整后就是零了。
相反，当j < p(n) 的时候π(j) < n就是说π(j) ≤ n-1，这样分母不会比n大，取整后是一个不小于1但不超过n的整数。
好了，我们都知道n的开n次根号是不小于1且严格小于2的。利用这个我们能得到下面的结论：
当j < p(n)的时候整个连加号内部的式子(下图式子)的值都是1，j ≥ p(n)的时候都是0。
所以当连加号的j从1开始一直的时候，实际上是连续的几个1相加，然后到p(n)开始都是0相加。正好跑了p(n) - 1个1。
至于为什么跑到的终点是2的n次方，这是因为
伯特兰-切比雪夫定理：对所有正整数n，n和2n之间必有素数。
利用这个定理，你能归纳出，第n个素数p(n)不会超过2的n次方。
于是素数公式出炉。
愚人节的文章还给出另外一个公式，其实是换汤不换药啦。
一点心得
好了，对于这个公式你们想说什么呢？复杂度太高？因为它里面有阶乘！矫揉造作？这个和一个一个数有什么区别？
理由也许都对！这些理由或许就是即便看上去把素数写成了一个“简单公式”，也对和素数有关问题的解决没有任何帮助的原因。
但它的确是一个正确的公式，也许可以看成“正确的废话”素数公式版吧。
不过，读者中有第一次见这个公式的小伙伴，是不是也感到一些有趣呢——你们可以拿去继续骗人呐！
关注 哆嗒数学网 每天获得更多数学趣文
,
