手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合,左底角顶点互连,右底角顶点互连所组成的图形。如果把等腰三角形顶角看作“头”,左底角看作“左手”,右底角看作“右手”,则可以描述成:头对头,左手拉左手,右手拉右手,这也正是手拉手模型名称的由来。
图1-左手和右手
左右手是根据顶角在上时的位置来说的,并不是绝对的左右,可类比自己的左右手,无论站着躺着还是倒立,都是指的同一只手。
图2-手拉手模型
二、手拉手模型的结论及证明1、结论
常见的结论有4个:
①拉手线等长BD=CE
②与腰构全等△ABD≌△ACE
③夹角为顶角∠BFC=∠BAC
④连线分夹角AF平分∠BFE
注意③④所说夹角不同,互为邻补角。
4个结论都与拉手线有关,核心结论是②,其它三个结论都可由②推出,所以说“大手拉小手,全等必须有。”
2、证明
(1)证明△ABD≌△ACE(SAS,加公共角)
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC ∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
(2)证明BD=CE(全等三角形对应边相等)
∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE
(3)证明∠BFC=∠BAC(8字模型)
∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE
又∵∠AOB=∠COF(对顶角相等)
∴∠BFC=∠BAC
(4)证明AF平分∠BFE(角平分线的判定,等面积法)
正难则反:直接证明两个角相等(定义)很困难,因此利用角平分线的判定间接证明。
图3-作辅助线
过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M、N.
∵△ABD≌△ACE,∴S△ABD=S△ACE
又∵BD=CE(已证)∴AM=AN
∴AF平分∠BFE.
三、手拉手模型与旋转构等腰的关系手拉手模型是由2个顶角相等的等腰三角形连接拉手线构造出2个全等三角形,反过来看,也可以看作是由2个全等三角形连接对应点构造出2个顶角相等的等腰三角形,而2个全等三角形又可以看作是由1个三角形旋转而来,后者通常称作旋转出等腰或旋转构等腰。
核心:大手拉小手,全等必须有
结论:拉手线等长,与腰构全等,夹角为顶角,连线分夹角
关系:等腰拉手构全等,全等旋转构等腰
#手拉手模型#
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