前段时间看到有李永乐发的视频，说
老师让你证明三角形的内角和是180度，于是你找了几个三角形，发现它们的内角和都是180度，于是证明完毕，这种做法对吗？
我问了许多人，都认为这个方法不对。但实际上，这么做是有道理的，它是正确而且严格的，这就是例证法，它是演绎和归纳法的统一，只是上学时候老师从没教过。
当时觉得李永乐老糊涂了，没怎么看，这几天又看到推荐页面里有人争论，出于好奇看了一下。
其实他视频里的方法，大方向上是对的，但有些细节问题。
首先，应当指出，他用例证法这个名字，有点标题党，刻意吸引人注意。
本质上是将问题代数化，变成多项式函数。
要证明的结果等价于那个多项式恒为0。
那么如果不成立，根据多项式的代数性质，其零点必然是有限的。
然后只要找出更多的“反例”，就证明了假设不成立。
这里主要用的是解析法、反证法。
并不是说一个例子证明了什么，而是足够多的“反例”证明了结论不能不成立。而保证论证过程严谨需要大量的背后工作。
他这种带有配图的原始陈述是不严谨的，虽然这种不严谨的陈述的确起了吸引人的作用。
下面我们来看具体细节。
对于三角形ABC，以A为原点，AB方向为x轴，AB为单位长度建立坐标系，那么B坐标(1,0)，设C坐标(x,y).
取BC中点M,延长AM到D使得MD=AM,那么三角形ABM全等于DCM，角ABC=角DCB.
同样的方法取AC中点N,延长BN到E使得EN=BN可得角BAC=角ECA.
于是角ECA 角ACB 角BCD就等于三角形的内角和，要证明它是180度，也就是证明ECD三点共线。
三点共线，等价于（他的原视频里没有用行列式，不过本质一样）
恒为0。
由于M是AD和BC中点，故
从而 是x的一次式，类似地可以得到是x的一次式，是y的一次式。
从而f(x,y)对于x和y都是一次的。
所以只要找两个不同的x和两个不同的y，验证2乘以2种可能之后就能证明f(x,y)恒为0。
问题是，用哪2乘以2种可能呢？
李永乐的视频里用了(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
需要注意，y=0时，C落在AB上，不构成三角形，内角和也无从谈起。
不过这个问题也是可以挽救的，三角形虽然没了，保证三点共线的函数仍然有效，对其的讨论最终可以适用于y不为0的情况，但需要说明。
补救方法1：对y=0的情况做代数计算，算出来f(x,y)在y=0时为0.
补救方法2：指明多项式函数是连续的，在y趋于0时，几何图形在压扁过程中也是连续的，因此被压扁的极端情况下所有点都共线，可以据此得到f(x,y)在y=0时为0.（但要严格论证几何图形在压扁的过程中是连续的，我能想到的还是把点的坐标都算出来，所以仍然回归方法1）。
至于y=1的另两个，是等腰直角三角形，内角和可以用正方形剖分得出，不过也需要说明。
实际上，在前面是可以比较容易地算出的，那么f(x,y)恒等于0及三点共线就是显然的。
在那里故意停止，然后专门用例证，反而显得故意让功。
尽管这种方法在别的问题中可能是简捷的。
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