这是一道关于罗尔中值定理最基础的应用题目。有些同学刚学罗尔中值定理,可能能够记得它的内容,甚至也能理解,但是就是不知道该怎么用,那么学这道题就对了,它会从正反两个方面,给你演示罗尔中值定理是怎么应用的。我们来看题吧:

试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ,使f’(ξ)=0.

(1)f(x)={xsin(1/x), 0<x<=1/π;0, x=0}; (2)f(x)=|x|, -1<=x<=1.

罗尔中值定理解题思路(罗尔中值定理最基础的应用)(1)

如果你不知道该怎么做,就先复习一下罗尔中值定理的内容:

若函数f满足如下条件:

1)f在闭区间[a,b]上连续;

2)f在开区间(a,b)内可导;

3)f(a)=f(b),

则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.

很明显,函数(1)对应定理中的区间是[0,1/π]和(0,1/π);而函数(2)对应定理中的区间是[-1,1]和(-1,1).

首先我们要看看它们在各自的闭区间上是否连续,在各自的开区间上是否可导,即检验条件1和条件2.

这两个函数其实都是分段函数,每段函数都是初等函数,根据初等函数在定义域内都是连续函数,可知,两个函数在对应的闭区间上都是连续的。

罗尔中值定理解题思路(罗尔中值定理最基础的应用)(2)

而函数(1)在(0,1/π)上可导,它的导函数是f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x) /x,其实解这道题并不需要求导,只要知道它可导就行了。而函数(2)在x=0是不可导的。所以函数(1)符合罗尔中值定理的前两个条件,函数(2)不符合罗尔中值定理的条件2. 不过不符合条件2并不能说明就一定不存在一点ξ,使得f’(ξ)=0,只能说不一定存在。

罗尔中值定理解题思路(罗尔中值定理最基础的应用)(3)

不过由于函数(2)在(-1,0)U(0,1)上的导数值不是-1, 就是1,因此,这个点的确是不存在的。

接下来检验函数(1)的条件3. 不难检验得到f(0)=f(1/π)=0,因此函数(1)符合罗尔中值定理的所有条件,所以函数(1)就在(0,1/π)上存在一点ξ,使得f’(ξ)=0. 函数(2)就没有必要检验条件3了。

接下来组织解题过程:

解:(1)f(x)在[0,1/π]上连续,在(0,1/π)上可导, 且有f(0)=f(1/π)=0,

由罗尔中值定理知,存在一点ξ∈(0,1/π),使得f’(ξ)=0.

(2)f(x)在[-1, 1]上连续,但在(-1,1)内x=0上不可导,

∴不一定存在一点ξ∈(-1,1),使f’(ξ)=0.

又 f'(x)={1, x>0; -1, x<0},∴不存在一点ξ∈(-1,1),使f’(ξ)=0.

罗尔中值定理解题思路(罗尔中值定理最基础的应用)(4)

怎么样?是不是很简单,一看就会啊!

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