对于十八世纪的数学界而言，欧拉无疑是最伟大的人物，而除去欧拉之外，最响亮的名字无疑是拉格朗日。他不仅是有名的数学家，还是物理学家，他的学术领域不仅涉及数学、物理学，还有分析力学、天体力学。作为法国数学著名的"三L"之首（其余二人为拉普拉斯和勒让德），拉格朗日为法国数学走向辉煌奠定了坚实基础 。由于出众的贡献，拉格朗日颇受拿破仑的器重，并被这位高傲的皇帝称赞为"数学这门学科中高耸的一座金字塔"。
数学近两百年来的许多成就都可以直接或间接追溯到拉格朗日的工作上，而对于分析学及相关学科而言，他是整个数学史上最具影响力的几个数学家之一。
01 把数学研究与数学教育相结合
拉格朗日（Lagrange, Joseph Louis, 1736—1813）于1736年1月25日出生在萨尔丹尼王国（现在意大利的一部分）的都灵。其祖籍在法国的都莱奴，他与笛卡儿是远亲。从拉格朗日的曾祖父开始离开法国定居在萨尔丹尼。其曾祖父作了萨尔丹尼国王埃玛努来二世的侍从。其父曾做过陆军校官会计，由于投机倒把，财产被一扫而空。
拉格朗日从都灵学校毕业后，只能靠自己维持生活，成天陷入繁杂忙乱的事务之中，并没有远大志向，对数学也没有多大兴趣，只是爱好文学。
一天，拉格朗日偶尔看到了数学家哈雷（Halley, Edmund, 1656—1742）的一篇论文，受到很大启发，该文写的是关于牛顿在微积分方面的重要文章，仍沿用欧几里得思想方法，他冥思苦想，试图建立新的观点，从此，产生了极大兴趣，开始倾心于对数学的研究，这时他只有17岁。
当拉格朗日18岁时，到都灵炮兵学校教数学。在这所学校，大部分学生都比拉格朗日年龄大，其工作艰辛是可想而知的。然而，他刻苦努力，进步之快，令人震惊。他定期召开讨论会，自己创办杂志，很快成了数学通。他的数学成绩突飞猛进，硕果累累，当他19岁时，就成了都灵皇家炮兵学校的数学教授。一个不足20岁的青年跃居到数学家的行列，足见其短短几年在数学领域所作出的贡献了。
拉格朗日喜欢写作，主要是数学方面的论文。他写作非常精心，他的论文叙述通俗，文字清楚、优美。
拉格朗日的最大特点是：把数学研究与数学教育相结合，勤奋好学，能使自己的想法与前人的成果结合起来进行探索，又由于他处在资产阶级大革命时代，当时对科学和教育十分重视，在这个环境十分优越的时代，加上他的天资和勤奋，致使他在许多领域取得了惊人的成就。
02 在天体力学与分析力学的卓越贡献，"分析二世"
拉格朗日23岁时，就解决了数学大师欧拉和达朗贝尔长期研究而未解决的"等周问题"。后又解决了更难的"六体（太阳、木星及其四个卫星）问题"。他还证明了"每一个整数都能变成四个或少于四个整数的平方和"。此被称为拉格朗日定理。
1762年，法国科学院悬赏征集，付费答题，提问关于月球自转，并且自转时总是以同一面对着地球的难题。拉格朗日用自己的研究成果成功地解决了这一问题，并获得了科学院的大奖。拉格朗日的名字也第一次进入整个欧洲科学界的视野。两年之后，法国科学院又提出了一个复杂的"六体问题"，也就是木星及其4个卫星和太阳之间的摄动问题。拉格朗日通宵数日，潜心研究，终于用近似解法找到了答案，从而再度获奖。而这次获奖，让他的大名更是传遍世界。
与其他数学家不同的是，拉布朗日从一开始就是一位数学分析方面的研究者。
这也反映了，分析是那个时代最热门的数学分支。比如在他出版的图书《分析力学》中，前言就这样写道：在这本书中你找不到一幅图。也就是他的图书中没有任何数学图像，纯粹是数学分析和推理。就像我们学的拉格朗日中值定理那个样子的，纯粹是函数的导数和直线的变化率之间的关系。
对于当时的天体力学而言，拉格朗日既不是第一人，也不是成就最大的（集大成者当属拉普拉斯），但对于分析力学而言，拉格朗日无疑是"上帝"一般的人物，仅仅是一个拉格朗日方程，便足以让他名留青史。
《分析力学》这本书是拉格朗日19岁时就构思好的，但是在他52岁时才出版。这本书，被19世纪的数学家汉密尔顿赞誉为"科学的诗"，也就是像诗歌一样优美。
尽管拉格朗日以分析学上的成就著称，但他在代数和数论上的成就在历史上也占有一席之地。在 《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》两篇论文中，拉格朗日提出了"方程的预解"和"根的置换"这样的概念，这实际上已经蕴含了置换群的思想。这样的思想最终被伽罗瓦和阿贝尔继承，并最终彻底解决了一般高次方程无根式解这一千年数学难题。
同时，拉格朗日在数论上的贡献也不容小觑。首先他证明了费马所遗留的两个难题：证明一个正整数可以表示为不超过四个平方数之和 ；求不定方程x^2-Ay^2=1的整数解，其中A为非平方整数。拉格朗日不仅解决了这些即使在欧拉手里也无能为力的难题，更重要地，他还提出了解决这些问题的基本理论，同时也对原问题进行了推广，甚至考虑了更一般的情形。除此之外，他还证明了：
圆周率π是无理数；n是素数的充要条件为(n-1)！ 1能被n整除。
而事实上，他在很多方面都超越了欧拉，至少在分析和力学上是如此。因此我们看到，拉格朗日无愧为近代数学史上最具影响力的数学家之一。
03 欧洲第一流数学家
1766年，德国腓特烈大帝提出："欧洲第一大王，欢迎欧洲第一流数学家。"希望拉格朗日能接受邀请到德国来。拉格朗日愉快应聘。在柏林工作的二十年中，建立了家庭，但不美满。妻子早逝。他把全部精力都投入了研究。写了150多篇论文。
1787年，法国国王路易十六在鲁维尔宫殿里，准备了几间房屋欢迎拉格朗日，于是拉格朗日决定返回祖国，定居巴黎，并被选为巴黎科学院院士。住在宫殿，荣升为贵族，但他仍刻苦钻研。他有很多职务，但一直担任大学数学教授，并从事教学工作，深受学生们的爱戴。他一生培养了许多专家和有用人才，几乎各行各业的人都尊敬这位有才华的人物。
1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新投身于研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》等等，阐释了自己对一般微积分理论的思考，我们非常熟悉的拉格朗日中值定理和拉格朗日差值公式就首次出现在这些著作中。
但囿于时代的限制，拉格朗日刻意回避"极限"这个概念，因此他并没有真正解决微积分的本质问题，而"分析的严格化"这项划时代的工作将由柯西和魏尔斯特拉斯等后人所彻底完成。
几何及物理意义
由下图可知，拉格朗日中值定理的几何意义是非常直观的，几乎所有的教材都会介绍. 其 classical 证明就是基于几何意义构造辅助函数.
其物理意义为： 物体从a沿着曲线f(x)运动到b的平均速度会等于某一时刻ξ的瞬时速度.
用通俗的语言解释就是，在你的人生轨迹中，如果它是连续不间断的，并且可到终点，那么肯定在人生某个时刻，有一个人，Ta认定了，与你的人生位移同方向，陪你走完这一生。（单身狗的福利定理）
这一定理有着广泛的应用，第一是用来证明等式、不等式与恒等式。第二是证明有关中值问题的结论，第三是研究导数和函数的性质，第四是证明方程根的存在性和利用中值定理求极限。这些应用对于数学研究有重要的作用。
1799年，在拉格朗日的领导下，巴黎科学院完成了统一度量衡的伟大创举，提出了今天我们所使用的诸如十进制的米制单位等。比较有意思的是，当时有不少人想采用十二进制，但在拉格朗日的坚持下，最终还是采用如今广为使用的十进制。
等到巴黎师范学院成立，拉格朗日被任命为教授，由于他太出名，之后又被任命为巴黎综合理工学院的第一位教授，为拿破仑麾下的年轻的军事工程师们讲授数学，在众多的学生中就有未来的数学家"柯西"。
04 结语
拉格朗日在整个一生中，以他欲望的适度和对人类命运的不可动摇的关切，以他生活的简朴和品格的高尚，最后，以他科学工作的准确性和深刻性，证明了他是一位伟大的数学家，也是一位哲学家。"
整个十八世纪的数学为欧拉和拉格朗日所支配，在拉格朗日还活着的时候，他就被尊称为欧洲最伟大的数学家，拿破仑更是亲封他为伯爵，由此可见他在数学史上的地位有多高。我们常常赞誉欧拉为"分析的化身"，而作为欧拉思想的真正继承人，拉格朗日完全算得上是"分析二世"，而事实上，他在很多方面都超越了欧拉，至少在分析和力学上是如此。因此我们看到，拉格朗日无愧为近代数学史上最具影响力的数学家之一。
1813年4月10日晨，拉格朗日病逝于巴黎。整理拉格朗日的业绩，真可谓范围广，数量多。《全集》共十二卷，各卷用八开纸约700多页。拿破仑当时曾称赞拉格朗日道："他是当今世界上，把数学引向高峰的数学家。"
,
