用参数表示变量或运动，是数学中非常常见的问题，也是重要的解题思想和解题策略，更是中学数学中的重点和难点问题，属于初高中衔接的必考内容。也属于奥赛班考试的必考内容，同时也是中高考的热点问题之一．我们很经常会遇到有关二次函数中含参数问题，主要涉及恒成立、最值与参数取值范围．下面我们来探讨有关二次函数中含有参数的问题！
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。对于含参型二次函数问题，首先应明确的方式主要两种类型：
类型1、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
1．（2018秋•萧山区期末）已知二次函数y＝ax ²﹣4ax 3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 _____．
【分析】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax ²﹣4ax 3a，然后配方即可．
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值．
【解答】（1）当a＝1时，y＝x ²﹣4x 3＝（x﹣2）²﹣1
∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．
（2）∵二次函数y＝ax ²﹣4ax 3a＝a（x﹣2）2﹣a
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，
当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）²﹣a＝4，解得a＝4/3，
当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，
a×（2﹣2）²﹣a＝4，解得a＝﹣4．
故答案为（1）﹣1；（2）4/3或-4．
2．（2019•硚口区模拟）点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在抛物线y＝x² 2mx 2上．当2＜x₁＜x₂时，满足y₁＜y₂，则m的取值范围为 _______．
【分析】根据二次函数图象的对称轴和二次函数图象的增减性解答．
【解答】如图，当2＜x₁＜x₂时，满足y₁＜y₂，此时点A、B均在直线x＝2的右侧．
而y＝x² 2mx 2＝（x m）² 2﹣m²，对称轴是直线x＝﹣m，
所以﹣m≤2，所以m≥﹣2．故答案是：m≥﹣2．
【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要掌握二次函数图象的增减性和二次函数图象的对称性质．
类型2、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的增减性或最值，求函数或区间中参数的取值。
3．（2019•武功县一模）已知抛物线y＝x ² （m 1）x m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
【解析】根据"当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小"列出不等式组并解答．
变式．（2019春•麻城市校级月考）已知当x≥1时，关于x的二次函数y＝x ² 2kx 1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k＝﹣1 B．k≥﹣1 C．k≤﹣1 D．k≤1
【解析】利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为：x＝﹣k，则当x≥﹣k时，函数值y随x的增大而增大，再根据"当x≥1时，关于x的二次函数y＝x ² 2kx 1的函数值y随x的增大而增大"，得到关于k的不等式，所以﹣k≤1，解得：k≥﹣1，选：B．
4．（2019春•江岸区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x ² （2﹣a）x 5，当1≤x≤3时，y在x＝l时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤﹣2 C．a≥6 D．a＜0
【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在1≤x≤3范围内和对称轴在1≤x≤3范围内两种情况进行解答．
【解答】当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，x＝﹣（2-a）/2×1 ≥3，即a≥8，
第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即：x＝﹣（2-a）/2×1≥(1 3)/2，即a≥6（此处若a取6的话，函数就在1和3的地方都取得最大值），综合上所述a≥6．故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
变式1.（2019•武汉模拟）已知抛物线y＝x²﹣4x 3，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（ ）
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4
【分析】利用配方法可找出：当x＝2时，y取得最小值，最小值为﹣1；代入y＝3可求出x＝0或4，再结合"当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3"，即可找出m的取值范围．
【解答】∵y＝x²﹣4x 3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为﹣1；
当y＝3时，有x²﹣4x 3＝3，解得：x₁＝0，x₂＝4，∴当x＝0或4时，y＝3．
又∵当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，∴2≤m≤4．故选：C．
变式2（2018秋•晋安区期中）二次函数y＝﹣（x﹣1）² 5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m n的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0，所以y的最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．最大值为5n分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝1，结合图象最小值只能由x＝m时求出．（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．
【解答】二次函数y＝﹣（x﹣1）2 5的大致图像如下：
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）² 5，
解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即5n＝﹣（n﹣1）² 5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2 5，
解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．
当x＝1时y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）² 5，解得：n＝1，
或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
5m＝﹣（n﹣1）² 5，n＝1，∴m＝5，
∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m n＝﹣4 1＝﹣3．故选：D．
变式3．（2019•济南一模）已知二次函数y＝（x﹣h）² 1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对对应的函数值y的最小值为10，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
【解析】∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值10，可得：（1﹣h）2 1＝10，解得：h＝﹣2或h＝4（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值10，可得：（3﹣h）2 1＝10，
解得：h＝6或h＝0（舍）；
③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是10，∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，h的值为﹣2或6，故选：D．
应注意总结在某区间上的最值有两种：一是求最大值；二是求最小值，其解决之道稍有区别.
反思：两个问题中抛物线都是开口向上，都是求自变量在一定范围内的最值问题，但分类策略略有不同，前者（最小值）依据对称轴与给定自变量范围之间的相对位置关系分三类，数形结合，解决问题；后者（最大值）首先利用对称性，确定对称轴的临界位置，然后依据"离对称轴越近，相应的函数值越小"原理分类讨论；
为什么两种最值问题的分类标准略有不同？究其原因是：当抛物线开口向上时，最小值可能在给定区间的端点或抛物线的顶点处取得，而最大值只可能在端点处取得.因此，对于开口向上的抛物线最小值问题，必须考虑对称轴与给定区间的三种位置关系；而最大值问题只需要考虑给定的两个端点到对称轴的远近关系即可；同样地，对于开口向下的抛物线，最大值要考虑对称轴与给定区间的三种位置关系，而最小值只需要利用对称性，考虑给定的两个端点到对称轴的远近关系即可.
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