组合数一般记为或,表示从n个球中取出k个球的取法。例如：
（1）,表示从4个球中取出2个球，一共有6种不同的取法。
（2）,表示从5个球中取出3个球，一共有10种不同的取法。
显然，从n个球中取出k个球，那n和k必须都是自然数，且k≤n。
组合数很容易计算。我们可以按照如下思路进行：
对于任意的n：
（1）当k = 0，也就是从中取出0个球，那自然只有一种取法，也就是一个球也不取，故；
（2）当k = 1，也就是从中取出1个球，那可以取到每一个球，自然就有n种取法，故；
（3）当k = 2，也就是从中取出2个球，可以先取第一个球，有n种取法，再从剩下(n-1)个球种取第二个球，有(n-1)种取法。由于先取甲再取乙和先取乙再取甲是同一种取法，但被计算了两次，因此最后还需除以2，故；
...
从中可以归纳出组合数的一般计算公式：
数学的发展有一个很常见的套路：如何将一个已有的理论或公式进行推广，使之适用于更一般的情形？
例如，我们的祖先在计数、捕猎、物品交换等日常活动中抽象出了自然数、加法、减法等概念，从加法中发展出乘法的概念，乘法进一步产生幂次的概念，而幂次从正整数一步步推广到负整数、分数、实数和任意复数，这无不体现着人类数学的发展和认识的进步。
考虑到幂次的推广过程，我们不禁要问，当n和k不是自然数，而是分数、无理数甚至超越数时，组合数如何计算呢？
这并非一时心血来潮的臆想，在数学分析中会很自然地遇到上述问题。
前面的文章《杨辉三角、伯努利数和矩阵》提到过，组合数又叫二项式系数，对于（1 x)^n,我们有如下展开式：
上面的公式当n为自然数时成立。x^k前的系数是组合数，又与函数（1 x)^n在x=0处的导数有关。
当n不是自然数时，我们仍想将一个幂函数写成多项式函数的形式，那就可以借助于Maclaurin级数或Taylor级数了。
例如n = 1/2, 对于f(x) = (1 x)^(1/2)，那么
将这个展开式与n为自然数时（1 x)^n的展开式做对比，我们立得
也就是说，当n不是自然数时，我们可以通过计算函数（1 x)^n在x=0处的k次导数，来计算组合数。
事实上，新的通过导数计算组合数的方法，与最开始的计算方法是相容的：
对于函数（1 x)^n，根据幂函数的求导法则，很容易计算其在x=0处的k次导数
所以无论n是不是自然数时，都有
根据以上公式，我们可以计算：
这样，我们就把组合数中的n，从自然数推广到了任意数。包括复数。
这其实没什么稀奇。很多人学到Taylor级数时都会自然而然地得到以上结论。
接下来，我们继续将组合数中的k，也从自然数推广到任意复数。
前面我们得到，当k是自然数时，无论n是不是自然数，我们都有如下组合数公式
现在希望将k从自然数推广到任意数。根据上面的公式，一个最自然的想法就是通过Gamma函数：
上述公式是欧拉对阶乘函数的推广，当s>0时积分收敛。通过解析延拓的方法，Gamma函数的定义域可扩展至除0，-1，-2，-3，...等非正整数以外的整个复平面上。也就是说，Gamma函数是一个具有s=0,-1,-2,-3,...等极点的亚纯函数。
回到组合数，一个自然的推广就是将分母中的k阶乘用Gamma函数代替，即
但问题又来了：
分母用Gamma函数代替没问题，但分子上面是n(n-1)(n-2)...(n-k 1)，一共是k项，当k不再是自然数时，这个积怎么定义呢？比如k=2.5, 那么n(n-1)(n-2)...最后一项就应该是(n-2.5 1)，可是我们按照n(n-1)(n-2)的顺序，接下来是(n-3)(n-4)...怎么都不会有(n-2.5 1)！
还需要用到Gamma函数。
回到最初的计算式，
右侧的表达式全部是阶乘形式，那么自然，都可以用Gamma函数代替，于是
为了表明n和k已经不再局限于自然数，我们分别用w和z替代n和k，有如下组合数公式：
上述公式还可以进一步美化：
Gamma函数是复平面上的亚纯函数，在0,-1,-2,-3,...等极点处Gamma函数发散。而Gamma函数的倒数在整个复平面解析。我们有其倒数的无穷乘积展式
于是
代入原组合数公式，经过一点并不复杂的化简，我们得到
根据以上公式，可作出组合数的图像。为了便于可视化，仅在实数范围内绘图。
考虑到在w = -1,-2,-3,...处组合数发散，这里分区间绘制，以z为横坐标，w为纵坐标。
对于-0.9 <w<5，图像如下
-0.9 <w<5，等高线（上）和三维图（下）
对于-1.9 <w<-1.1，图像如下
-1.9 <w<-1.1，等高线（上）和三维图（下）
下面是一些w取定后，组合数关于z的函数图像：
可以看到，组合数的图像具有明显的波动性。
而波动性，正是三角函数的特性。
两者必有联系。
组合数与三角函数我们先来看一个很有名的公式：Wallis乘积
写成无穷乘积，也就是
结合组合数公式，我们只要令w = 0, z = 1/2, 立得
即
组合数竟然可以得到圆周率！这并非偶然。
组合数与三角函数之间确实有很深的联系。
根据组合数公式，如果令w = 0,有
另一方面，
于是
这样就将三角函数与组合数联系起来了！
如果令z = 1/2，我们立得Wallis乘积。
可以说，三角函数，不过是组合数的一种特殊情形罢了。
其他有趣的公式之前的文章《一道网友原创的无穷乘积等式》中，有过这样一个等式
有了组合数公式，我们也可以很容易证明以上等式。
将左侧写成无穷乘积形式，也就是
为了套用组合数公式，将组合数公式改写为
比较一下，很显然，只要令w = -3/4, z = -1/4，立得
从而
轻松秒杀。
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