直线植树问题“加1”法值得商榷的观点，笔者在《教学月刊2009.3》期、《中小学数学2009.12》期、《广东教育2011.7-8》期等报刊杂志先后从不同的视角发表了多篇文章，并提出“间距中点”法才是直线植树问题的真正解法，接下来我们就来聊聊关于有关中点的定理?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!
有关中点的定理
直线植树问题“加1”法值得商榷的观点，笔者在《教学月刊2009.3》期、《中小学数学2009.12》期、《广东教育2011.7-8》期等报刊杂志先后从不同的视角发表了多篇文章，并提出“间距中点”法才是直线植树问题的真正解法。
最近，笔者读到一篇《植树公式及例题》的好文章，文章首先介绍现行植树公式，接着选用了相关例题。笔者对原作者的“例题1”特别有兴趣，故摘录如下：
植树公式及例题
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数 1。
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=段数。
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=段数－1。
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘2，即：棵树=段数 1再乘2。
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。
三、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）×边数。
例题1，长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？
解法一：
①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．|
②这块地能种苹果树多少行？54÷3=18(行)．
③这块地共种苹果树多少棵？42×18=756(棵)．
如果株距、行距的方向互换，结果相同：
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．
解法二：
①这块地的面积是多少平方米？
84×54=4536(平方米)．
②一棵苹果树占地多少平方米？
2×3=6(平方米)．
③这块地能种苹果树多少棵？
4536÷6=756(棵)．
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种解法来解．（余下略）
笔者认为《例题1》解答得很具体很完整，而且采用2种方法解答，计算结果完全相同，还分析了长、宽分别不能被株距、行距整除时会出现的情况，提出解决办法，挺完美的。除此之外，笔者还得感谢原作者对“间距中点”法的验证之大功。
原作者首先提到的是《在线段上的植树问题可以分为以下三种情形》， 即“加1”法，“不加不减”法和“减1”法。原文是：
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数 1。
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=段数。
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=段数－1。
鉴于原作者的解法一：①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)
笔者不禁要问：“一行”是不是属于线段？“一行能种多少棵？”是不是属于“在线段上的植树问题”？如果是属于在线段上的植树问题，那么为什么不采用上述规定的3种解法之一种呢？再说，“ 84÷2=42(棵)”的列式及答案何据而来？
也许有人会说：“这里是既不‘加1’也不‘减1’，直接等于段数。”（尽管此回答与现行数学教材直线植树问题解法相矛盾，还是继续讨论）笔者认为42段没有错，42棵也没有错。可是你无法把42棵树栽种在84米长的一行内。若两端都栽种，则需要43棵；若两端都不栽种，只要41棵，这两种方法都行不通。只栽一端刚好42棵，行吗？答案也是否定的。请问你从哪一端开始栽种？你栽了这一端必然空着另一端，在两端中必定会空着一端，对吗？这是现行数学教材采用“端点”法解答直线植树问题的弊端。
那么，能不能把树栽种在每一段的中间啊？当然可以。哈哈，这不是对接上了作者提出的“间距中点”法思路吗？“间距中点”法即从该植树段(线段)两端点的任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树，以下依次按间距长度种植，这样，距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面，从算理上分析，可以先求出该植树段含有多少个这样的间距，然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树，植树棵数正好等于间隔数，公式是：植树总长度÷间距长度=植树棵数（间隔数）。按照“间距中点”法种植，把每一棵树都栽种每一个间距的中点，即分别栽种在42个段的中点，也就是刚好42棵树。
每行栽种42棵的结果终于出来了，该栽种多少行呢？54÷3=18(行)的答案成立吗？笔者认为，18行的行数没有错，关键是确定每行栽种的位置关系，假如每行栽种42棵，而这18行在这个长方形中该如何落实呢？哪里为第一行呢？也得依靠“间距中点”法。按“间距中点”法思路，树应该栽种在“行距中点连线与株距中点连线的交点”。那么，这个长84米，宽54米的长方形地块刚好画出756个交点，也就是可以栽种756棵苹果树。而且，这756个交点与原作者解法二中2×3或3×2的756个长方形的2条对角线交点分别相重合，因此，不但植树棵数相同而且植树点也相重合。
笔者认为，在直线（线段）植树问题上，“间距中点”法与“加1（减1）”法的分歧焦点在于栽种点的位置关系上，说到底是“中点”法与“端点”法的探讨。
采用“间距中点”法解答植树问题，能与封闭植树问题相匹配（植树棵数等于间隔数），还与平面植树问题相印证（前面所述）。“间距中点”法是直线植树问题真正的解法。
,
