每种颜色有两个方块，共3种颜色6个方块♦
苏格兰数学家C·达德利·兰福德在观察他的儿子玩六个彩色方块(每种颜色有两个方块)。他注意到，儿子把它们排成两个白色方块之间隔着一个方块，两个红色方块之间隔着两个方块，两个黑色的方块之间隔着三个方块。这里，我使用上图来表示我的意图:
我们发现两个白色方块之间只有一个方块(碰巧是红色)。红色方块之间有两个方块(一个黑方块，一个白方块)。黑色方块之间有三个方块(两个白色方块和一个红色方块)。兰福德思考了一下，证明了这是这种排列的唯一排法，左右调换除外。
用数字表示就是：312132
或者是逆序数：231213
他想知道用更多颜色是否可以进行这种排列(比如四种)。他再次发现只有一种排法，加上它的左右调换。你能找出这种排法吗?解这道题最简单的方法是用扑克牌代替方块。用两个A，两个2，两个3和两个4。
你可以将这些牌排成一行，使得恰好有一张牌在两个A之间，两张牌在两个2之间，三张牌在两个3之间，四张牌在两个4之间吗?
五对或六对牌没有这样的排列，但是7对牌有26种这样的排列。一般而言，当且仅当牌的对数是4的倍数或者比4的倍数小1时，才有解。
虽然不存在计算有多少解的公式，但是2005年迈克尔·克雷杰凯、克里斯托夫·解雷德和阿兰·裴用计算机算了三个月，终于发现24对牌有46845158056515936种这样的排列。
答案请看下图：
可以用扑克牌，也可以用麻将
十六字令本节的题目很不好定，原想实话实说，直截了当地使用标题“从保险箱的密码组合到私奔的闯关口令”，虽然开门见山，但毕竟题目太长了，不符合任何一本书的体例.
然而，这确实是个16位数，又是同日期有关的通过关卡的口令.于是，一下子心血来潮，取了这个有现成词牌的题目.
有人说，他从一本德文书里看到过这个问题。有位上了富豪榜的大财阀有个保险箱，储存了大量的现金、有价证券、钻石、珠宝和古董，开箱的密码是个16位数，由两个1，两个2……直到两个8，总共16个数字所组成.
密码的设计思想是，它是一个16位的数字串，从左到右，在两个1中间夹着一个数字，两个2中间夹着两个数字，依此类推，直到在两个8的中间夹着八个数字。书中的解法非常含糊，只是说，电子计算机至少给出了300个答案设置的提示也十分简单，第一个8只可能位于位置1至7，否则就没有足够的位置用于第二个8了。这样的提示，说了等于没说，不解决任何问题.
德文书我看过不少，其中包括大数学家高斯、黎曼、希尔伯特等人的全集(当然这些书只能在图书馆里阅览，不准外借)，但可惜没见过这本书.不过有一点，既然至少有300个答案，怎么可能是保险箱的密码呢?一年有365天或366天(年)，数字上落不大，它倒非常像个随日期而变动的“口令”了。
从而在刹那之间想起了往事，一首名为《月夜》的德国民歌浮现在眼前:
一望无际的天空，笼罩在大地上;
月亮放射出银光，敦促大地入梦乡.
那晚风飘过田野，掀起一片麦浪.
树林在沙沙作响，星光多么明亮.
我的心灵无比舒畅，它展开翅膀。
飞过寂静的田野，飞回它的家乡。
在一般人的眼中，德国人是一个严肃而刚强的民族，不像法国、意大利、西班牙人那样的浪漫与多情。但在德国文学中，照样也有《茵梦湖》那样优美、高雅、苍凉与抒情的作品.
本故事的女主人公也叫伊丽莎白，不过她比《茵梦湖》中的同名者要幸运得多，因为她的智力高超的男朋友经过一番苦苦思索，终于找到了神奇的5月16日口令(从耶稣圣诞节起算，而不是从1月1日元日开始，这又是一个诡计，一个暗桩)，闯关成功摆脱了中世纪城保式的羁绊，至于他们能否真的白头到老，那就不得而知了(在中国也有类似的例子，画家徐悲鸿与宜兴的大家闺秀蒋碧微私奔成功而结婚。到头来还是以离婚而告终)。
让我们先从最简单的情形说起。对两个1与两个2来说，问题显然无解。因为两个1的中间只能放个2.然而第二个2无论放在121的左面或反面，所得出的2121或1212都是不合要求的。实不相瞒。当年我站立在电车上没有座位时，几分钟内就找到了本问题的六位数答案:
312132(或其逆序数231213)，
八位数答案随即接踵而至:41312432.
然而问题在许多情形下是无解的，不能盲目蛮干。首先应注意到，根据问题的性质，不存在包容性的嵌套结构。
其次，在数字串的左边诸格中5与4是不能紧挨的4与33与2.2与1都如此，否则要发生“撞车”现象;根据同样的情形，在右侧诸格中,两个连续自然数是不能按照递增顺序相邻的，见图4-2
图4-2
此格将有“不3不4”的内在矛盾
图4-2
在中世纪的德国，哪有电子计算机可用?解的存在与否，一般是用“顺水推舟法”来做的，许多情形下都会出现水到渠成，非此不可的情形，没有多大选择余地，从而可以迅速达到扩充结点或删除(图论或人工智能术语)之目的，为了便于读者进一步理解，让我们再举些例子来略加说明:
【例1】既然54，32等都不能连在一起，我们就从531开始，从而顺水推舟，必将扩展数字串到达53121354??然而下面两格就无法安排了。
【例2】从531出发的数字串一直可以顺利扩展到531413524?到此地步、可谓诸事称心，然而最后剩下来的一个2无法安置，还是只能“功亏一篑”地失败了，真是前功尽弃.
为节省篇幅起见，让我们说出伊丽莎白小姐的男朋友所推导出来的通关口令吧:它是
2672815164735843.
最后要说的是，尽管这个问题来自中世纪，但至今研究者大有人在，迄今未衰。因为在有解的情形下，随着位数的增多，答案将会像“幻方”一样空前地膨胀起来.然而并没有找到一种不用计算机的、简洁、干净、快速有效的办法把答案直接写出来，就像是微分方程，解是明明存在的，然而就是没有办法把它实际求出来。看来，这是许多数学问题的天生痼疾，它是与生俱来无药可治的.
注释本文第一章节：兰福德立方体摘自《数学万花筒》，配图未采用原书插图，而是自行制作。
第二章节摘自著名数学科普作家谈祥柏的作品《数学未了情》。
这两个章节论述的是相同的数学问题，可以对照阅读。
如果要写出一个由两个1，两个2......一直到两个7，这七个对子组成的14位数，要求两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着2个数，以此类推，直到两个7之间夹着7个数。这个问题如何寻找答案？书中没有解法和答案，只有自己想办法。
办法有很多种，简单说一下。
可以用一副扑克牌来探究答案。
可以用麻将来探究答案，也许比扑克牌更方便，更好用。
麻将是很好的探究数学问题的道具
可以在电脑上编程，暴力找出全部答案。
不会编程的读者可以用办公软件Excel来探究答案。
最后，我采用的办法是在方格纸上探究答案。有一个很重要的数学思想是分类讨论。
在方格纸上先填两个7，只有6种填法符合要求，于是就把所有的情况分为6大类，再展开分类讨论即可。
两个7分别填入第一格和第九格，这是第一类。
再考虑两个1有几种填法，按照一个不重，一个不漏的原则展开分类讨论。
就像玩填字谜游戏，或者是数独游戏或者是其他游戏一样，一边填空，一边推理，排除不可能的情况。
玩这个游戏之前，认为变化很多，但是填了几个格子以后，受题目要求的约束，自由发挥的余地并不算大。
尝试了几次，就得到了一个答案，请看下图：
答案1
大家可以对照上图，验证答案是否正确。
这是一个富有趣味的数学问题，很适合业余数学爱好者，大家可以用玩游戏的心态，选择适合自己的方式去探究答案。
全部答案有26种，期待读者找到后在评论区留言。有你的参与更精彩。
上图的答案1也提供了一种麻将牌暗七对的稀奇排列，期待大家找出暗七对的其余25种排列方式。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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