在描述世间万物规律的物理定律中，只有热力学第二定律让我确信它永远不会被推翻。
—— 阿尔伯特·爱因斯坦
热力学第二定律，既简明又深奥。物理学家用它解释自然现象，企业家用它诠释管理的艺术，社会学家用它解读人的行为。
那么，热力学第二定律及与之紧密相关的“熵”，本质上是什么呢？本文以易懂而严谨的方式，为你解读热力学第二定律。
热力学第二定律的具体表述在历史上出现过多种，且长相各异。其中，现代学者普遍接受的一种表述如下：
孤立系统的熵只会随时间流逝增加，而不会减少。
其中，“孤立系统”指不与外界交换能量和质量的系统。
就知道你要问。“熵”是一个不容易搞懂的概念。像“温度”、“压强”之类的概念，我们能触摸或感知到它们，所以容易理解。而熵看不见摸不着，高度抽象，很难准确理解。
直观地说，熵衡量物体或系统的混乱度。
举个例子。上图中左右两个房间，里面的陈设几乎一样，好比两个包涵相同物质的系统。左边的房间明显较混乱，而右边的房间更整洁。所以我们可以认为，左边混乱房间的熵较高，而右边整洁房间的熵较低。
当然。直观理解“熵”不足以让求知欲强的同学满意，而“混乱度”这个诠释确实也没有解决全部问题。那我们就从“熵”这个奇怪的汉字说起吧。
“熵”字来源于我国物理学家胡刚复的灵机一动。
1924年，德国物理学家普朗克来中国讲学，作“热力学第二定律之观念”的报告。为普朗克翻译时，胡刚复苦于听众难以理解“entropie”这一德语词，就即兴创造了“熵”字翻译。
“熵”在“商”字左边加“火”字旁，取“热量与温度之商”的意思，来源于德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clasius）的定义。
以卡诺热机为基础，克劳修斯在1856年推导出下述公式：
其中，Q表示热量，T表示温度，S表示熵。△表示增量，所以△S代表熵的增量，△Q代表热量的增量。克劳修斯推导出的上述公式的含义是，熵的变化量等于热量变化量与温度的比值（商）。
克劳修斯是历史上首位定义熵的科学家。这项定义在热力学范围内适用，但也带来了两个问题。
其一，克劳修斯只定义了熵的增量，却没有给出一个锚点。比如，什么情况下，一个系统的熵值是1。克劳修斯的定义没有给出明确的答案。
其二，这个定义难以直观诠释其意义。“热量变化量”与“温度”的比值到底是啥，让观者如坠五里云雾。
问得正是时候，当然需要再给力一点。
1877年，奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）从统计力学角度给熵以下述新定义：
等式左边的S表示熵。等式的右边，Kв是玻尔兹曼常数。ln函数即自然对数。重点来了，这里的W表示微观状态数。具体地说，对于某系统所处的某个特定的宏观状态，W是所有符合该宏观状态的微观状态总数。
关于宏观状态与对应的微观状态数，老师打一个简单的比方。比如我们抛掷两枚硬币，一共可能会出现三种宏观状态：两正面、一正一反、两反面。
两正面对应的微观状态只有一种（正正），两反面对应的微观状态也只有一种（反反），而一正一反对应的微观状态有两种（正反、反正）。
宏观状态与其对应的微观状态之间有如下的关系：如果系统处于某固定的宏观状态，且不受其他因素干扰，则系统将在所有符合要求的微观状态之间切换，并在有限时间内遍历所有合理的微观状态。
以掷硬币为例，当系统处于“一正一反”这个宏观状态时，两枚硬币会自发地在“正反”、“反正”两种微观状态之间反复横跳；但若没有外来因素干扰，则不会跳跃到“正正”或“反反”等状态。
可以的。这位同学大概是对硬币这个粗糙的例子不满意，那么老师就举一个更精细的例子——围棋盘与围棋子。
（本例来源于YouTube频道 PBS Space Time）
围棋盘纵横19道，上有361个交叉点。假设我们有180枚黑子（白子已经被扔到一边了）。同学们不妨想象，这张棋盘是一方孤立的空间，而180枚棋子好比180个气体分子。接下来，我们考虑两种截然不同的宏观状态：
宏观状态I：180枚棋子比较均匀地分布在棋盘的交叉点上，如下图所示。
宏观状态II：180枚棋子集中分布在棋盘的右半边，如下图所示。
在这块棋盘上，宏观状态指棋子的总体分布形态，而微观状态指棋子具体的分布方式、每一格交叉点上有或没有黑子。
我们可以从玻尔兹曼的定义出发，量化地分析与比较这两种宏观状态的差别。方便起见，我们暂且省略公式中的玻尔兹曼常数Kв（省略玻尔兹曼常数并不影响量化分析）。现在，玻尔兹曼熵暂时以此公式定义：
宏观状态I，“180枚棋子较均匀地分布在棋盘上”比较常见。用组合数学的公式，我们可以比较准确地估算出，符合宏观状态I的微观状态共有约10^108种。用公式表示，W（I）=10^108。因此，宏观状态I的熵值大约是 ：
宏观状态II，“180枚棋子集中分布在棋盘右半边”比较少见。实际上，只有棋盘正中间一列的9枚棋子排列状态不确定。因此，符合宏观状态II的微观状态只有92378种。用公式表示，W（II）=92378。因此，宏观状态II的熵值大约是 ：
综上，W（I）>W（II），宏观状态Ⅰ对应的微观状态总数更多；因此，宏观状态I的熵较高，宏观状态II的熵较低。
我们用下面这张表格总结围棋这个案例中，两种宏观状态的差异。
老师知道某位同学又有问题了，那就请提问吧。
好问题。直观来看，符合某个宏观状态的微观状态数量越多，该状态一般也越混乱。
比如上例中宏观状态I旗下的微观状态
就比宏观状态II旗下的微观状态
明显更混乱。
但是，上述直观理解存在一些例外。比如下图的“整齐”排列。
这个状态的熵是较高还是较低呢？
第一感觉来说，此种排列无比整齐，毫不混乱，似乎应该是低熵的状态。但是，这个微观状态其实相对符合宏观状态I“180枚棋子较均匀地分布在棋盘上”的描述。
如果把这些棋子想象成气体分子，那么从
状态变化到
状态所需的能量较小。
而从
状态变化到
状态所需的能量较大。
因此，下图应被视作宏观状态I所属的微观状态，其熵较大，接近S（I)=243.1。
从上例可以看出，把“熵”解释为“混乱度”足够直观，但不足够严谨。玻尔兹曼的“微观状态数”定义才是对“混乱度”的准确诠释。
嗯，当然可以。前文我们提到“熵”的两种量化定义：克劳修斯的“热量与温度之商”，与玻尔兹曼的“微观状态数”。
这两种定义理应是相容的，而在热力学范畴内，确实可以通过数学推导，证实两种定义等价。不过，如果从信息的角度看待“熵”，不仅可以将上述两种定义联系在一起，还可以进一步推广“熵”这个概念的适用范围。请同学们考虑下述定义：
熵衡量我们对宏观状态的无知程度。
要理解什么是“无知”程度，我们还是回头看围棋盘的例子吧。
请同学们先考虑宏观状态I，棋子较均匀分布的宏观状态。
我们对宏观状态I其实所知甚少——基本上不知道乌云下棋子的具体分布。棋盘上哪个点有子，哪个点没有子，几乎无法判断。
想要准确了解宏观状态I背后具体的微观状态是什么，我们还需要知道棋盘上每一个点的状态。这几乎需要361位二进制码（每一个点，如果是黑子记作1，空点记作0），也就是361比特（bit）¹的信息。
（注解1：bit的翻译在不同地区有差异。此处笔者译作比特，请读者注意勿与byte（字节）混淆。1byte=8bit）
若是宏观状态II，棋子集中分布在右半边的宏观状态。
那么我们对其知之甚多，能几乎确定对应的微观状态——除了棋盘中间的一列不确定。
因此，我们只需确定棋盘中间19个点的状态，就可以准确得知宏观状态II背后的微观状态是什么。换句话说，我们只缺不多于19比特（bit）的信息。
根据上例，我们可以总结，所谓对宏观状态的“无知”程度，就是确定对应微观状态尚欠缺的信息量。欠缺的信息量越多，则这个宏观状态的熵也就越高。
嗯…… 可以。
美国数学家克劳德·香农（Claude Shannon）在1948年10月发表论文《通信的数学理论》。这篇大名鼎鼎的论文后来被视为信息论的开山之作。该论文提出了“信息熵”的概念，其定义如下：
这里的H就是香农定义的信息熵，而W还是微观状态数。不难看出，香农的信息熵定义与玻尔兹曼的定义几乎一样，只相差一个常数。
信息熵定义中的对数函数通常以“2”为底数，因为二进制在信息论的实践中更常见。
以香农的定义计算，棋盘上的宏观状态I与宏观状态II对应的信息熵如下：
即宏观状态I的信息熵是358，而宏观状态II的信息熵是16.5. 这与我们之前粗略的估计非常接近，也更精确地衡量我们对宏观状态的“无知程度”。
老师把信息熵补充到表格的最后一列，同学们可以据此做总结。
呃…… 能……的吧。
玻尔兹曼对熵的定义，其实采用了一个简化问题的假设：“各微观状态出现的概率相等”。
这条假设在某些情况下合理，在某些情况下不合理。美国物理学家约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在玻尔兹曼定义的基础上定义了一般情况下的熵，公式如下：
其中，表示各微观状态出现的概率。这个熵的定义也被称为吉布斯熵。
与吉布斯熵相对应，一般情况下的信息熵以下述公式定义：
如果各微观状态出现的概率相等，即
那么
与前述的简化定义一致。
本文介绍了五种熵的定义。“熵”起源于热力学，却在统计力学那里找到了自己的归宿，并启发了一门全新的学科——信息论。
“混乱度”是对“熵”的良好直观理解，而微观状态数则是对熵更准确的理解。
当同学们正确理解熵，才能真正理解热力学第二定律，以及热力学第二定律背后那些更深刻、普遍的道理。
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