非数学思维vs数学思维
在讲什么是数学思维之前，先说说什么不是数学思维。
首先，听众人的意见不是数学思维，不是赞同的声音越大越正确。事实上很多人凑在一起，智商常常不是增加而是下降。这就是所谓的群体效应。
其次，听专家的意见不是数学思维。很多人在做判断时会相信专家。绝大多数时候这是一个好习惯，但专家也有漏判和误判的时候。2008—2009年的金融危机是历史上危害仅次于1929—1933年全球大萧条的经济危机，它让很多家庭倾家荡产，包括很多极为富有、受教育程度很高的人。在金融危机之后，英国女王问全世界的经济学家，这么大的危机、这么明显的问题，你们这么多人怎么没有一个人预测到呢？这让经济学家很没面子。
其实英国女王多少有点错怪经济学家这个群体了。整体来看，他们当时确实是过于乐观了，但也有一些经济学家之前确实做过很多预警。而那些被预警的问题，一旦引起注意后，大多会被防范，之后就不再是问题。因此，换一个角度讲，经济学家已经帮助我们避免了很多次经济危机。当然，经济学家也不是神，总会有误判的时候。当大部分人都出现误判时，真正的危机就来了。但是，在那次金融危机中，还是有一些人利用数学思维避开了风险，而且赚得盆满钵满。
最后，数学思维不是通过以往的经验或者多次试验得到结论。这种方法更像是自然科学的思维方式，而不是数学的。事实上，很多时候，通过大量试验所得到的结果依然可能是错误的。比如我们要比较10,000x和x2哪个大，如果从x=1开始试验，一直试到100，都是10,000x大。但是如果我们因此得出结论10, 000x>x2，那就错了。可能有人会问，为什么不直接试试x=20,000呢？因为人们能够想象到的例子常常受限于自身的认知。如果一个人平时接触的数通常都是个位数的，他就很难想到10,000、20,000这些大很多的数。
还是在2008—2009年的金融危机中，有一次摩根士丹利私人财富管理部门召集客户（都是非常有钱的人）开会分析当时的金融状况。主讲人说，根据历次经济危机时股市的表现，只要实体经济没有受到重创，股市通常会下跌1/4~1/3。一位参会者马上就说：“先生，你太乐观了，我们现在正在创造历史。”这位发言者的话很快被证实了，因为股市很快就跌了一半。这说明人的经验通常是有局限性的。
那么什么是数学思维？它是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。什么是不变的事实呢？比如说宇宙中基本粒子的数量是有限的，任何经济增长都不可能是长期翻番的，这些就是不变的事实。具体到金融中，一个不变的事实就是，任何建立在空中楼阁之上的复利增长都难以持续，比如庞氏骗局。
数学思维的应用
在2008—2009年金融危机中，有不少人靠各种智慧避开了厄运，甚至大赚特赚了一笔。这其中就包括商业嗅觉敏锐的人和善于运用数学思维的人。
像巴菲特这样的人，他们能够避开厄运，靠的就是长期以来培养出的商业嗅觉。巴菲特讲，那些金融衍生品被包装到大家看不懂的地步，一定是为了掩盖很多真相，他坚决不参与那样的赌博。这与其说是投资的智慧，不如说是人生的智慧，这种智慧常常不可复制。
另外还有一类人，则是靠数学思维赚了个盆满钵满。比如由数学家创立和运作的对冲基金公司文艺复兴科技公司，2008年获利80%，而同期的股市则被“腰斩”了。这些人出于对自身利益考虑，只是闷声发大财，不对外说，因此外面的人大多不知道。但其中一些人利用数学发现问题的故事还是广为人知的，比如迈克尔·伯里，他的故事被拍成了电影《大空头》。
伯里并不是职业投资人，而是一名数学很好的医生。他做判断的逻辑其实很简单，就是我们常常说的“建立在空中楼阁之上的复利增长”从数学上讲是无法长期为继的。听说过印度国际象棋故事的人都知道，如果翻番增长64次，一粒麦粒变出来的数量比全世界收获的麦粒都多，这个道理大家都懂。但是，如果换一种表述方式，绝大部分人就糊涂了。比如某个家族的财富每年增长7%，有没有可能持续几千年？很多人觉得有可能，因为每年7%似乎不是什么了不得的事情，而且美国的股市确实在上百年的时间里做到了这样的增长。但是，如果真的按照这样的增长速度持续两千多年，当年的陶朱公范蠡（中国古代有名的富豪）哪怕只给后代留下一个铜板，今天他的传人所拥有的铜钱的数量就要达到宇宙中原子的数量，这显然是做不到的事情。事实上，任何一种投资，在一开始基数较小的时候，很容易维持指数增长。但是，一旦基数变大，增长的速度就会慢下来，7%变成6%、5%、4%……如果还想不切实际地维持原来的增长率，那就是庞氏骗局了。
当庞氏骗局从翻番增长变为7%的增长时，很多人就已经看不出来了。当它再被漂亮地包装几次，就更不容易识别了。导致2008—2009年金融危机的，恰恰是一种包装得很漂亮的庞氏骗局，它的核心是一种叫作CDS（信用违约互换）的金融衍生品。
CDS的发明和克林顿担任美国总统时的一项政策有关，即为了让本来付不起首付的穷人也能买房子，允许银行在提供通常的房贷之外还提供购房首付款的贷款。比如弗洛伊德先生想买一栋100万美元的房子，通常他必须先支付20万美元的首付，才有资格从银行获得80万美元的贷款。如果他没钱支付首付款，就没有办法购房。但这项政策允许他从A银行获得正常的80万美元贷款的同时，还可以通过支付较高利息的方式从B银行获得针对20万美元首付的贷款。为了区分这两种贷款，前者我们也称之为初级贷款，后者自然就被称为次级贷款，简称次贷。
次级贷款相比初级贷款有两个特点：
第一，利率高。
第二，风险大。风险大主要体现在出了问题之后。必须等到提供初级贷款的银行拿回钱之后，才轮到提供次贷的银行拿钱。比如弗洛伊德先生断供了很长时间，银行被迫收回房子拍卖，A银行会先拿回自己的80万美元贷款。剩余的钱，才轮到B银行拿回。
如果房价一直上涨，这倒不是问题。比如100万美元的房子拍卖收回了110万美元，A银行和B银行都能收回全款。但是，如果房价下跌，只卖了85万美元，B银行就只能拿回5万美元的本金，亏了75%。所幸的是，次级贷款的利率高，如果100个贷款的人里只有两三个人的贷款收不回来，B银行也能从其他购房者偿还的利息中填补漏洞。
当然，B银行还有一个更稳妥的做法，就是从高利息（比如每年10%）中拿出一部分钱（比如1%），向保险公司C购买贷款者违约的保险。保险公司C根据历史数据发现，房屋贷款收不回来的情况很少，比如只占房贷的2%左右，而它从B银行可以挣多年的钱。由于房贷的期限通常在15年以上，不考虑复利因素，15年下来就是贷款总额的15%，担保10亿美元的房产就能收入1.5亿美元，成本只有2000万美元，这种利润率高达650%的事情保险公司自然就答应了。
接下来，投资银行D看到C公司做了这样一笔好买卖，非常眼红，就和C商量将这10亿美元房产的保险生意卖给自家，并愿意留下B公司20%的好处，即3000万美元。C公司想，1.5亿美元虽然多，但是要承担15年的保险义务，不如一次性得到3000万美元实在，就答应了。D公司是投资银行，更精明，将这笔担保的业务包装成证券，叫作CDS，加价3000万美元卖给了另一家投资银行E。E公司可能将各种类似的CDS又打了一个包，以新的证券形式上市了。就这样，在经过无数次包装后，CDS的内部结构大部分人已经看不懂了，但人们总觉得自己可以从下家身上赚到钱。于是一同把CDS炒到了50万亿美元这么大的规模，这已经超过了当时美国房市本身的总值，是当时美国GDP的3倍左右。
这个骗局的本质是什么呢？就是大家炒来炒去都在赌一件事，今后15~30年，房价会一直快速上涨，而且购房者有足够意愿不断供。然而，房价不可能永远快速上涨，特别是在经济本身涨幅很小的前提之下。于是为了维持房价快速上涨，就得有人愿意花更多的钱来买房，然后需要再有人花更多更多的钱来接盘，这就是庞氏骗局的翻版。而一旦有大量房主还不上钱，或者不愿意还钱，或者房价不再上涨，这些CDS就变得一钱不值。更糟糕的是，给购房者提供次级贷款的银行、后面的保险公司以及很多购买了CDS的投资银行也都完蛋了，整个金融系统垮了。
这件事不太容易通过一些经济指标分析出来，因为短期房价的上涨会给人经济繁荣的假象。但是，这种游戏里面的问题，却可以通过数学算出来。其实不只是伯里，当时有不少人在这个骗局破灭之前发现了问题，后来挣到了大笔的钱，这其中就包括2015年向哈佛大学捐出该校有史以来最大捐款额的约翰·保尔森。这些人正是因为拥有数学思维，清楚地知道增长不可能持续，看到了繁荣后面的危机，然后做空。不过在所有挣钱的人中，伯里的利润率实在是太高，而且他还好心地去和每个人讲，于是他被公认为最具数学头脑、看穿骗局的第一人。
通过这个例子，我们来说说数学思维相比其他思维方式的不同。数学思维依据的不是大家的看法，不是专家的意见，也不是历史的经验，而是永远不会变的事实，以及并不复杂的逻辑推理。很多人觉得搞清楚金融或其他领域的问题需要很多领域知识，这种看法当然是对的，但比领域知识更重要的是数学思维。一个人不可能成为所有领域的专家，但有了数学思维，你至少会有基本的判断能力。即便不知道具体答案是什么，你也很容易判断什么肯定是错的。
简单地讲，具有数学思维就是会算账，但不是指算小账算得清楚，那经常是捡了芝麻丢了西瓜。我们说的算账，是要善用数学知识和逻辑，对一个长期的趋势做出正确的判断，预见到我们必须做的事情，以及不能做的事情。
我们对“算笔账”这3个字并不陌生。每一个人、每一个机构，都应该仔细算账。算账不是在自由市场上讨价还价，不是抠一两个点的利润，而是用好数学这个工具来发现问题，给出可行的建议。
在次贷的例子中，伯里等人利用数学发现了不能做什么。这其实用到了逻辑学中的矛盾律。什么是矛盾律？它是说一个事物不能既有A属性，又没有A属性。一方面房贷的总值不能超过房市的价值，这是常识；但另一方面，房贷的一部分——其衍生品CDS的盘子却比整个房市的价值大，这就违反了矛盾律。
学习数学最有价值的地方，是接受一种逻辑训练，形成理性思维的习惯，在生活中善于找出矛盾、发现问题，然后用逻辑的方法找到答案并采取行动。今天认知升级是一个时髦的词，它其实不过是掌握了数学的思维方式，并对其加以灵活应用。
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