对于实数系，1的任意次方的根都为1或，但是，在复数系下，1的n次方根则有必有n个不同根，即我们把这称为n次单位根，以来指代第一个n次单位根，那么很显然，就是第k个n次单位根。
如果我们把复平面画出来，那就可以很直观地明白：1的n次方根其实就是将单位圆n等分，且相邻两点角度相差。
从n次单位根的公式可以得知，当n为偶数时，单位根有1和-1两个纯实数根；当n为奇数时，除了1，其余n-1个根均为复数根，尤其是n素数时，这n-1个根都不是次数比n低的单位根，我们称之为本原单位根。本原单位根在分圆域的研究中是很重要的。有了n次单位根的公式，可以方便地求解任意复数的n次根：假设已知是某复数的一个n次根，则即为的n个根。
我们知道,所求的解即是n次单位根，那么根据这个方程，可以得到：或者，我们把后者称之为分圆方程。高斯在分圆方程的研究取得重要成果，证明了当n为素数时，分圆方程总能归结为解一串较低次的方程，并且找到了能用二次根式解出的充要条件。举例如下，当n=5时，分圆如下：
，由于x=0不是方程的解，因此方程两边同除以，
得：,
令,则,那么上式可以转化成：
根据二次方程求根公式，得
再利用二次方程求根公式，将中的x值求解出来。当然，其实这四个根用n次单位根的公式立即就可以求解出来，只是利用n次单位根的公式得到的结果是用三角函数表示的，没那么直观而已。由于这四个根是可以用直尺圆规构造出来，所以正五边形是可以用直尺圆规画出来的。高斯用了一个晚上证明了千年难题，即哪些正边形可以用直尺和圆规作图而得。
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