双曲线与切线，渐近线交点问题，可以说霸占了考题难题的的百分之八十，需要好好分析总结。本文阅读需要8分钟左右。
当我们画了一对双曲线时，在平面内任取一个点。
显然，它会与双曲线有三种位置关系。
两曲线之间，在曲线上，在左右两边即曲线之外。
对于每一种位置关系我们会问这样几个问题：
1. 何时有一个交点
2. 何时两个交点
3. 何时没有交点
4. 何时两个交点位于同侧
5. 何时两个交点位于异侧
他们的答案，都会和斜率有关，包括切线和准线的斜率。
先来看第一种情况；
点在两条曲线之间：
点在双曲线中间，示意图
此时,例子如图。
K1,k2为切线斜率：
（关于切线是与一侧切两次还是与两个曲线各切一次：
如果这个点在渐近线两线相夹的上下区域：就和两侧切。
如果在渐近线区域左右：就和靠近的一侧，上面一个，下面一个。
K3，k4为渐近线斜率，k3<0 k4>0
（渐近线斜率陡峭还是切线斜率陡峭?
一定是切线斜率陡峭，因为切线斜率的极限才能够是渐近线）
所以k1》k4
K2<k3
此时解决问题：
1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2，k3，k4）
2. 何时两个交点( （k1,k2)
3. 何时没有交点 (k1,oo)(oo,k2)
4. 何时两个交点位于同侧
(同侧即为正斜率到正斜率，负斜率到负斜率）区间（k4，k1） （k2,k3)
5. 何时两个交点位于异侧(k3,k4)
第二种：
点在曲线上：
会产生三条特殊线，只有一个公共交点：
切线k1
正斜率k2
负斜率k3
此时解决问题：
1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2，k3）
2. 何时两个交点( （k1,k2)（k3，k2）（k1，oo）（-OO，k3）
3. 何时没有交点 不存在
4. 何时两个交点位于同侧 （k1，oo）（-OO，k3）（k1,k2)
5. 何时两个交点位于异侧(k3,k2)
第三种情况：点在曲线两侧
只有俩斜率正k1负k2
此时解决问题：
1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2）
2. 何时两个交点( （k1，oo）（-OO，k2）（k1，k2）
3. 何时没有交点 不存在
4. 何时两个交点位于同侧 （k1，oo）（-OO，k2）
5. 何时两个交点位于异侧（k1，k2）
大体就是这样。
细节之处不辩不清的，欢迎大家留言来讨论。
作者：柴老师
高考数学149分，哈工大本科，北京大学双学位在读。四年来帮助上千名学生高考提分三十加。
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