今天看到一道超级麻烦的中考数学压轴题，是关于抛物线上相似三角形以及轴对称点的问题。题目中多次重复求直线解释式，以及关于直线轴对称点的坐标。特别烦！虽然如此，这类题目在中考数学中出现的概率却一点也不低，所以还是有探究学习的必要的。题目是这样的：
如图, 二次函数y=x^2 bx 3的图像与y轴交于点A, 过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B. 抛物线过点C(1,0), 且顶点为D, 连接AC, BC, BD, CD.
(1)填空：b=____;
(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q，若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；
(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG，当点F在x轴上时，直接写了出AG的长.
第(1)小题自然是妥妥的送分题，只要把(1,0)代入解析式得：1 b 3=0, 就可以解得b=-4. 一般的中考数学压轴题第(2)小题也不会太难。但这道题从第(2)小题开始，就很麻烦。要分两种情况讨论。以下将解释部分写成【】中。
解：(2)记BD交x轴于点M，设P(p, p^2-4p 3), B(4,3), D(2,-1),
BC=根号((4-1)^2 3^2)=3倍根号2，CD=根号((-1)^2 (2-1)^2)=根号2，【目标是要证明△BCD∽△AOC。为什么知道？经验加上探究过程中的观察咯。】
所以BC/DC=3, 又AO/CO=3，所以BC/DC=AO/CO. 【对应角的两条边成比例】
又kBC=3/(4-1)=1,kCD=-1/(2-1)=-1,【两条直线的斜率的积等于-1，说明它们互相垂直】
∴∠BCD=90度=∠AOC, ∴△BCD∽△AOC(SAS),
∴∠BDC=∠ACO=∠BAC, 【前面是相似的对应角，后面是平行线的内错角】
又∠DCM=∠BCM=∠ABC, 【前面是斜率相反的两条直线与横轴夹角中的锐角相等，后面还是平行线的内错角。这些如果要全部写完整，解题过程得有一匹布那么长。但这里只是第二小题的二分之一不到】
∴∠CMD=∠ACB=∠CQD,【前面是“两个三角形有两组对应边相等，因此第三组角相等，或相似的对应角相等”，后面是已知条件。】
因此当Q在D点上方时，点Q与点M重合, 【否则∠CMD不等于∠CQD，因为那样的话，它们一个是三角形的外角，一个是与这个外角不相邻的内角】
p=3, P(3,0).【这个时候P点在横轴上，就是抛物线与横轴的另一个交点（相对于C点）】
当Q在D点下方时，设BD：y=2x b, 【BD的斜率直接就用上了，就是BD两点的纵坐标差比横坐标差】
代入D(2,-1)解得b=-5, ∴BD：y=2x-5, M(5/2,0)【求M点的坐标的过程都省略了】,
可设Q(q, 2q-5)，CQ=CM,【这是等角对等边，等角是∠CMD=∠CQD】
即(q-1)^2 (2q-5)^2=(5/2-1)^2,【因为不想写根号，所以这里其实是CQ^2=CM^2】
解得q=1.9【不合理的根已经被舍去】
Q(1.9, -1.2),【连求Q点的纵坐标的步骤也省了】
设CQ：y=4x/3 c, 【再次直接忽略求斜率的过程，直接套用公式】
代入C(1,0), 解得c=4/3, ∴CQ：y=-4x/3 4/3,
当x^2-4x 3=-4x/3 4/3时, x^2-8x/3 5/3=0. 【这是求CQ和抛物线的交点P的坐标】
∴p=5/3【C点坐标已被舍去】, P(5/3,8/9).
综上，P(3,0)或P(5/3,8/9).
【瞧瞧，这第二题，够不够麻烦？第(3)小题要求直接写出答案，这样的要求，你一个字都不要相信他，求起来可能更麻烦，因为过程不用写在试卷上，所以以下用分析的方式来组织解题过程】
(3)分析：如果有图，可能会更直观点，所以我们先画一个草图，帮助理解。
这里要写出AC的解析式y=-3x 3, 和BD的解析式y=2x-5,(第(2)小题已求)。并且设E点坐标(e,-3e 3), 以及EF的解析式y=-x/2 d,
代入(e,-3e 3), 解得：d=-5e/2 3
接下来求EF和BD的交点坐标，就是当2x-5=-x/2-5e/2 3时, 求得x=(16-5e)/5,
以及F点的坐标，即当-x/2-5e/2 3=0时, x=6-5e,
根据EF和BD的交点是E，F的中点，利用中点公式列方程得：e 6-5e=2(16-5e)/5, 解得：e=-1/5, 这样就可以得到F点的坐标(7,0).
并且得到FG的解析式y=-x 7；而BC的解析式：y=x-1,
因此可以求它们的交点坐标，即当-x 7=x-1时，解得x=4,
现在设G(g,-g 7), 则g=8-7=1, 注意，这里运用的也是中点坐标公式的变形。即FG和BC的交点，是F，G的中点。
这样就得到了G点的坐标(1,6), 已知A点坐标(0,3)，因此
AG=根号(1^2 (6-3)^2)=根号10.
假如我们可以直接应用关于直线对称的两个点的坐标公式，或许第(3)小题可以稍微简便一点吧。但这个公式老黄前面的文章介绍过，也是蛮复杂的。或者这道题还存在用几何的方法求角的可能性。
不论如何，考试的时间有限，我们也想不了那么多。不知道这道题给了你什么体验呢？
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