正弦定理、余弦定理,笔者都是在初中阶段学习的,现在可能移到高中阶段才教学,笔者认为这个改革是非常失败、错误的!因为在初中阶段,有些题目,如果使用正弦定理、余弦定律是非常简单的!笔者认为,初中生必须自己掌握、证明这两个定理!
下面对正弦定理进行简单证明!
三角形ABC中,有 a:sinA=b:sinB=c:sinC=2r(r是外接圆半径)
如图
作三角形ABC的外接圆,圆心O,连接AO,延长到D,BDA=BCA
c=ADsinC=2rsinC
同理 b=2rsinB a=2rsinA
a:sinA=b:sinB=c:sinC=2r
下面再证明sin2e=2sinecose
构造等腰三角形ABC,顶角BAC为2e,设腰长AB=AC为m,利用面积法证明!
先过A作高AD AD=mcose BD=CD=msine
S=1/2*AD*BC=mmsinecose
过B作BC高BM,BM=ABsin2e=msin2e
S=1/2AC*BM=1/2*mmsin2e
故有sin2e=2cosesine
AC:sin30=AD:sin80
AC:AD=sin30:sin80=1:2cos10
DC:sin10=BD:sin20
DC:BD=sin10:sin20=1:2cos10
AC:AD=DC:BD
AC:DC=AD:BD
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