小学二年级就开始学习带余除法了，这时候总会听到老师一次又一次地反复强调：余数一定要小于除数。
为什么余数一定要小于除数？如果等于或者大于除数会产生什么结果呢？小时候你向老师提过这样的问题吗？你的孩子再问到这个问题时，你又会和孩子怎么解释呢？
很多爸爸妈妈自己也不太明白，不知道怎么跟孩子解释这个定理，只能用“数学课本上就是这么规定的”、“我也不太清楚”来敷衍了事，这样只会打击孩子的求知欲望。
也有小学数学知识依旧在线的爸妈可能会说：因为余数大于除数就可以再继续分。
这样的解释不错，但是不够严谨。
正确答案是：为了保证不完全商的唯一性
这么高深又枯燥的语言，孩子怎么听得懂？
既然不容易说出来，不如试着做出来。
素材很简单：只要有足够多的火柴棍就可以（或者小糖果）
先用4根火柴围成一个正方形做个示范。问问孩子有8根同样长的火柴，可以摆几个这样的正方形？孩子很容易就能答出来：能摆2个正方形。
如果是 9根、10根、11根、12根呢，也像这样摆正方形，分别可以摆几个？这里有些数字不能被4整除，不属于孩子熟悉的表内除法，可能一时答不出来，不如让孩子动手摆一摆，验证一下自己的想法。
进行过几轮这样的游戏之后，孩子就能逐渐感知每一轮游戏的变化规律：
当火柴棍是8根时，正好可以摆2个正方形。而火柴棍是9、10、11根的时候也只能摆成2个正方形，因为剩余的1根、2根、3根火柴都不足以摆成一个完整的正方形。
但是用12根火柴时，12比8多出来4根，这4根又可以摆成一个正方形，没有剩余的火柴。
用算式可以表示为：
9÷4=2……1（根）
10÷4=2……2（根）
11÷4=2……3（根）
12÷4=3……余数为0
为了让孩子进一步感知余数与除数的关系，接下来再让孩子动手摆一摆三角形和五边形。
对比每一轮的剩余数之后会发现：同样是10根火柴，摆正方形的话，可以摆两个，剩余2根火柴；摆三角形的话，就可以摆3个，剩余1根火柴。意味着余数够不够凑成一份，要看具体除数是多少。
通过这样的操作和比较，孩子就可以初步理解余数与除数的关系：
如果余数比除数大了就还能再分。余数只要满4，就又可以摆成一个正方形，意味着商就要多1。同样的余数满3、余数满5，也意味着商要多1，所以余数要小于除数。
还可以拿生活中的情景作解释，有8颗糖要分给爸爸妈妈两个人，有很多种分法：
可以每个人分得1个，剩余6个；还可以每个人都分得2个，剩余4个，还可以每个人都分得3个，剩2个，还能每个人分得4个，一个不剩。
从生活的角度去看待这三种方式，每一种分法都是合理的，但是抽象到数学问题的话，它的计算结果不确定，会给计算带来麻烦。
我们在文章开头也提到了“余数大于除数就还能够再分”这个说法并不严谨。所以就有了带余除法的概念规定：
如果正整数 a 除以正整数 b，不能得到整数商，设a最多包含 q 个 b，也就是说 bq＜a＜b（q＋1）， 那么整数 q 叫做不完全商，a 与 bq 的差叫做余数。显然，在带余除法中，有如下性质：
✅余数必须小于除数，即 r＜b；
✅不完全商与余数都是唯一的。
从概念规定里，可以发现为了保证商和余数的唯一性，也就是一个有余数的除法算式里，只能有一个商和一个余数。这样一来，保证了计算结果的唯一确定性。
“余数一定要比除数小” 是一个十分重要的概念 。它既能保证不完全商的唯一性，又是带余除法中求商规律的重要依据。因此，让孩子从多方面感知、理解掌握余数为什么要小于除数的道理，后面用竖式计算有余数的除法时才能更加自觉地监控余数，并根据余数灵活试商。
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