几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来，使隐蔽的条件显现，将复杂的问题简单化，
在解题的过程中有时需要构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解 .
本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法 .
方法一 作 “平行线” 来构造等腰三角形
1.如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F，
且 DF = EF .
求证：BD = CE .
证明：过点 D 作 DG∥AE，交 BC 于 G 点，则 ∠GDF = ∠E .
∵ ∠GDF = ∠CEF，∠DFG = ∠EFC，DF = EF ,
∴ △DGF ≌ △ECF（ASA），
∴ GD = CE .
∵ AB = AC ,
∴ ∠B = ∠ACB，
∵ DG∥AE，
∴ ∠DGB = ∠ACB，
∴ ∠DBG = ∠DGB，
∴ GD = BD ,
∴ BD = CE .
2.已知 △ABC 为等边三角形，点 D 为 AC 上的一个动点，点 E 为 BC 延长线上一点，且 BD = DE .
（1）如图 ①，若点 D 在边 AC 上，猜想线段 AD 与 CE 之间的关系，并说明理由；
（2）如图 ②，若点 D 在 AC 的延长线上，（1）中的结论是否还成立，请说明理由 .
解：
（1）AD = CE .
理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 于点 P .
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ △APD 也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDA = 60°，
∵ DB = DE ,
∴ ∠DBC = ∠DEC，
∵ DP∥BC，
∴ ∠PDB = ∠DBC .
∴ ∠PDB = ∠DEC .
又 ∵ ∠BPD = ∠A ∠ADP = 120°，∠DCE = ∠A ∠ABC = 120°，
∴ ∠BPD = ∠DCE .
在 △BPD 和 △DCE 中，
∠BPD = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,
∴ △BPD ≌ △DCE（AAS），
∴ PD = CE，
∴ AD = CE ;
（2）（1）中的结论成立 .
理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 的延长线于点 P .
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ △APD 也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDC = 60°，
∵ DB = DE ,
∴ ∠DBC = ∠CED .
∵ DP∥BC，
∴ ∠PDB = ∠DBC，
∴ ∠PDB = ∠CED .
在 △BPD 和 △DCE 中，
∠P = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,
∴ △BPD ≌ △DCE（AAS），
∴ PD = CE ,
∴ AD = CE .
方法二 利用 “三线合一” 构造等腰三角形
3.如图，在 △ABC 中，BP 平分 ∠ABC，且 AP⊥BP 于点 P , 连接 CP .
若 BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，求 △ABC 的面积 .
解：延长 AP 交 BC 于点 E .
∵ BP 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠EBP .
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠BPE .
在 △APB 和 △EPB 中，
∠ABP = ∠EBP，BP = BP , ∠BPA = ∠BPE，
∴ △APB ≌ △EPB（ASA），
∴ S△ABP = S△BPE，AP = PE .
∵ △APC 与 △PCE 等底同高，
∴ S△APC = S△PCE，
∴ S△ABC = S△ABP S△BPE S△APC S△PCE = 2 S△BPC，
∵ BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，
∴ S△BPC = 1/2 × 4 × 1 = 2，
∴ S△ABC = 2 × 2 = 4 .
4.如图，已知 △ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，CE⊥BD，
交 BD 的延长线于点 E .
求证：BD = 2 CE .
证明：延长 BA , CE 交于点 M .
∵ CE⊥BD，
∴ ∠BEC = ∠BEM = 90° .
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠MBE = ∠CBE .
又 ∵ BE = BE ,
∴ △MBE ≌ △CBE（ASA），
∴ EM = EC = 1/2 MC .
∵ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC = ∠MAC = 90°，AB = AC ,
∴ ∠ABD ∠BDA = 90° .
∵ ∠BEC = 90°，
∴ ∠ACM ∠CDE = 90° .
∵ ∠BDA = ∠CDE，
∴ ∠ABD = ∠ACM .
在 △ABD 和 △ACM 中，
∠ABD = ∠ACM，AB = AC , ∠BAD = ∠CAM，
∴ △ABD ≌ △ ACM（ASA），
∴ DB = MC，
∴ BD = 2 CE .
方法三 利用 “倍角关系” 构造等腰三角形
5.如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，且 ∠ABC = 2 ∠C .
求证：AB BD = AC .
证明：在边 AC 上截取 AP = AB，连接 PD .
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠PAD .
在 △ABD 和 △APD 中，
AB = AP，∠BAD = ∠PAD，AD = AD ,
∴ △ABD ≌ △APD（SAS）.
∴ ∠APD = ∠B，PD = BD .
∵ ∠B = 2 ∠C，
∴ ∠APD = 2 ∠C .
又 ∵ ∠APD = ∠C ∠PDC，
∴ ∠PDC = ∠C，
∴ PD = PC ,
∴ AB BD = AP PC = AC .
方法四 利用 “截长补短法” 构造等腰三角形
6.如图，在 △ABC 中，∠BAC = 120°，AD⊥BC 于点 D，且 AB BD = DC , 求 ∠C 的度数 .
方法一：截长法
如图，在 CD 上截取点 E，使 DE = BD，连接 AE .
∵ AD⊥BE，DE = BD，
∴ AB = AE .
∵ AB BD = DC ,
∴ AE DE = DC .
又 ∵ DE CE = DC ,
∴ CE = AE = AB .
∴ ∠B = ∠AED = ∠C ∠CAE = 2 ∠C .
∵ ∠BAC ∠B ∠C = ∠BAC 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，
∴ ∠C = 20°；
方法二：补短法
如图，延长 DB 至点 F，使得 BF = AB，则 AB BD = BF BD = DF = CD ,
∴ AF = AC , ∠C = ∠F = 1/2 ∠ABC .
∵ ∠BAC ∠ABC ∠C = ∠BAC 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，
∴ ∠C = 20° .
7.如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 △ABC 外一点，且 ∠ABD = 60°，∠ACD = 60° .
求证：BD DC = AB .
证明：延长 BD 至点 E，使得 BE = AB，连接 AE , CE .
∵ ∠ABE = 60°，BE = AB ,
∴ △ABE 为等边三角形，
∴ ∠AEB = 60°，AE = AB .
又 ∵ ∠ACD = 60°，
∴ ∠ACD = ∠ABE .
∵ AB = AC , AB = AE ,
∴ AC = AE ,
∴ ∠ACE = ∠AEC，
∴ ∠DCE = ∠DEC，
∴ DC = DE ,
∴ AB = BE = BD DE = BD DC ,
即 BD DC = AB .
,
