#创作挑战赛#
高考数学关于三角函数的多选题，虽然并不是很难，但是相当令人讨厌，因为在它的身上往往要花比较多的时间，而且还要非常小心，一不小心选错就丢分了，我猜你一定不会喜欢这类题。正因为如此，你更应该在平时多练练这个题型，高考中才能无往不利。下面这道题就是2022年全国新高考数学II卷的这种类型题：
函数f(x)=sin(2x φ) (0<φ<π)的图像以(2π/3,0)中心对称, 则
A. y=f(x)在(0,5π/12)单调递减；
B. y=f(x)在(-π/12,11π/12)有两个极值点;
C. 直线x=7π/6是一条对称轴； D. 直线y=√3/2-x是一条切线.
分析：解决这道题，需要先总结出以下四个要点：
(1)因为正弦函数的参数ω=2，所以f(x)的最小正周期为t=2π/2=π,
(2)因为f(x)过(2π/3,0)，即有零点x=2π/3，所以f(x)的零点为x=2π/3 kπ (k∈Z).
(3)f(x)的极大值点在零点向右平移四分之一周期，也就是在x=2π/3 π/4 kπ=11π/12 kπ取得极大值。
(4)f(x)的极小值点在零点向左平移四分之一个周期，也就是在x=2π/3-π/4 kπ=5π/12 kπ取得极小值。(3)(4)都是结合正弦函数的周期性状得到的。如果不理解，可以结合草图。其实这里也有可能是极大值在零点的左侧，极小值在零点的右侧。如果要分析排除这种情形的可能性，实在非常麻烦，必须通过检验才行。这里就省略了！
当k=-1时, 可求得f(x)的一个极大值点x=-π/12; 当k=0时，又可以得到函数的一个极小值点5π/12。[-π/12, 5π/12]正好是正弦函数的半个周期，而且是单调递减的半个周期。而A选项的区间属于这半个周期，即(0,5π/12)⊂[-π/12, 5π/12]，所以A选项是正确的。
由(1)(3)可知，B是错误的。因为函数最小正周期等于π，在一个周期上，正弦函数最多有两个极值点，而B选项中的区间正好是一个周期，而且是一个开区间，(3)中又指明了这个周期区间的右端点是在整个函数中是一个极值点。这样的周期开区间上，就只能有一个极值点，所以B错误。
由(4)可以知道x=5π/12是函数图像的一条对称轴，又7π/6-5π/12=3π/4，即x=7π/6与对称轴x=5π/12的水平距离是四分之三个周期。说明这其实是一个零点，而不是一个极值点，即不是一条对称轴，所以C错误。
现在只有A选项确定是正确的，因为是多选题，所以最后一个选项Ｄ，也是正确的。如果要正面分析D选项的正确性，就几乎要另开一个炉灶了。
这回需要由零点x=2π/3，即f(2π/3)=sin(4π/3 φ)=0, 得到4π/3 φ=kπ, 并求得φ=kπ-4π/3，或φ=kπ 2π/3。
对函数求导，当f’(x)=2cos(2x φ)=-1，即切线斜率为-1时, 2x φ=-π/3 2kπ或2π/3 2kπ.
当k=-1时，x=0，f(0)=sin(-π-4π/3)=-√3/2, 这就是切线所经过的点，用点斜式列切线方程，就可以得到D选项中的直线. 因此D正确。答案选A、D.
这道题怎么样？够麻烦的吧！不过如果你能画出函数的图像，根据图像，ABC都是可以检验判断出来的。D选项就没有那么方便了。你觉得呢？
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