在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
不等式的基本性质：
①对称性；即a>b←→b<a；
②传递性；即a>b,b>c→a>c
③加法单调性，即同向不等式可加性；即：a>b→a c>b c
④乘法单调性；即：a>b,c>d→ac>bd
⑤同向正值不等式可乘性；即：a>b>0,c>d>0→ac>bd
⑥正值不等式可乘方；a>b>0→a的n次方>b的n次方 (n∈N 且n>1)
⑦正值不等式可开方；a>b>0→√a>√b (n∈N 且n>1)
不等式证明方法：
比较法
作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；
作商比较法：根据a/b=1，
当b>0时，得a>b，
当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1，
当b<0时，得a<b。
综合法
由因导果. 证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法
执果索因. 证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
放缩法
将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知A<C，要证A<B，则只要证C<B. 若C<B成立，即证得A<B. 也可采用把B缩小的方法，若已知C<B，则只要证A<C。
归纳法
证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法
换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法
通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
不等式经典提高练习题：
1、已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)•(1b－1)•(1c－1)≥8。
2、已知A＝2x²＋3x＋2，B＝2x²－4x－5，试比较A与B的大小。
3、 k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10？
4、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n。
5、根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两个数大小的方法：若A－B＞0，则A＞B；若A－B=0，则A=B；若A－B＜0，则A＜B，这种比较大小的方法称为“作差比较法”，试比较2x2－2x与x2－2x的大小。
数学题刷起来吧~
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