期中考试已经临近，这也是对开学至今学习的一次重要的检验，初二数学中，三角形章节不仅是考试的重点，也是后面学习全等三角形，甚至以后学习勾股定理，相似三角形等知识的基础，因此本章的内容都要学会搞懂，而期中考试临近，为了能够帮助同学们顺利的复习，总结了三角形章节的重难点，通过题型详解，希望同学们能够在期中考试中考出好的成绩。
1 三角形的稳定性
【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
1将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ）
本题就是根据三角形具有稳定性进行解答，根据三角形具有稳定性可得A、B、D都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，故选：C．
2三角形边角关系的应用
【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键，同学们也要掌握|a-b|<x<a b,确定第三边x的取值范围。
1、a，b，c为△ABC的三边，化简|a b c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b c|﹣|a b﹣c|，结果是（ ）
A．0 B．2a 2b 2c C．4a D．2b﹣2c
【解析】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．因此|a b c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b c|﹣|a b﹣c|＝（a b c）﹣（b c﹣a）﹣（a﹣b c）﹣（a b﹣c）＝a b c﹣b﹣c a﹣a b﹣c﹣a﹣b c＝0。故选：A．此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．
2、已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（ ）
A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a b）
C．a 2b＜L＜2a b D．3a﹣b＜L＜3a b
【解析】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a b．∴这个三角形的周长L的取值范围是a﹣b a b＜L＜a b a b，即2a＜L＜2a 2b．故选：B．本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3多边形的相关概念
【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.
1、下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ）
【解析】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．图形不是凸多边形的是A．故选：A．本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．
2、从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
【解析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形。从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形，故选：B。本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形。
3、一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【解析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C。本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
4多边形内角和与外角和的应用
【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：(n-2) × 180 °(n ≥3的整数），多边形的外角和等于360°，特别注意，多边形的外角和与边数无关。
1.一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形
【解析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴这个多边形为八边形，故选：D．此题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
2.如图，在六边形ABCDEF中，∠A ∠B ∠E ∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（ ）
A．1/2α﹣180°,B．180°﹣1/2α,C．1/2α,D．360°﹣1/2α
【解析】由多边形内角和定理求出∠A ∠B ∠E ∠F ∠CDE ∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P ∠PCD ∠PDE＝180°，得出2∠P ∠BCD ∠CDE＝360°②，由和②即可求出结果．在六边形ABCDEF中，∠A ∠B ∠E ∠F ∠CDE ∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P ∠PCD ∠PDE＝180°，∴2（∠P ∠PCD ∠PDE）＝360°，即2∠P ∠BCD ∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A ∠B ∠E ∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝1/2α﹣180°；故选：A．本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理；熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键．
5三角形内角和定理的应用
1.如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）
【解析】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝1/2∠BAC＝25°，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝1/2∠BAC＝90°﹣1/2（α β），根据角的和差即可得到结论．本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
6三角形外角性质的应用
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【解析】1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可．（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝1/2∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2.如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度数．
【解析】 根据三角形外角性质得到∠FDE＝∠BAD ∠ABD，而∠BAD＝∠CBE，则∠FDE＝∠BAD ∠CBE＝∠ABC＝64°；同理可得∠DEF＝∠ACB＝43°，然后根据三角形内角定理计算∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝48°，∠DEF＝64°，∵∠FDE＝∠BAD ∠ABD，∠BAD＝∠CBE，∴∠FDE＝∠BAD ∠CBE＝∠ABC，∴∠ABC＝64°； 同理∠DEF＝∠FCB ∠CBE＝∠FCB ∠ACF＝∠ACB，∴∠ACB＝43°；∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣64°﹣43°＝73°，∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
7 利用互余关系倒角
【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.
1.如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD ∠BCD＝90°，∠B ∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
2.如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．
【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解．解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，准确识图，根据图形找出图中各角之间的关系是解题的关键．
,
