#创作挑战赛#
高数教材到底有多难理解。老黄这么给你说吧，它只会告诉你“一”，不会告诉你“二”。理解能力稍好一点的小伙伴，可以学到“一”，但是能学到“二”的人就属于凤毛麟角了。而且在探究“二”的时候，还特别容易出错。你讲出来吧，还会被人耻笑，就像老黄这样。不讲出来吧，就只能烂在肚子里，永远不知道自己探究的结果是对还是错。
老黄在这里就想和大家分享高数教材中一道练习，整理出一致连续的一个充分条件，并且和大家掰一掰老黄拓展出来的“二”，与爱学习的诸君共探讨。
一致连续函数的充分条件：函数在[a, ∞)上连续，且有渐近线(非垂直)，那么就一致连续。教材中以题目的形式展示，并要求学习者自行证明：
设f在[a, ∞)上连续，且有渐近线，即有数b与c，使得lim(x→ ∞)[f(x)-bx-c]=0. 证明f在[a, ∞)上一致连续.
证：记g(x)=bx c，则g在[a, ∞)上一致连续， ∴∀ε>0,
∃δ1>0, 当x’,x”∈[a, ∞)且|x’-x”|<δ1时,有|g(x’)-g(x”)|<ε/3.
又lim(x→ ∞)[f(x)-bx-c]=0, ∴∃M>a,当x≥M时,有|f(x)-g(x)|<ε/3.
取重叠区间I1=[a,M 1], I2=[M, ∞), 则f在I1上一致连续.
∴存在δ2>0，当x’,x”∈I1且|x’-x”|<δ2时，有|f(x’)-f(x”)|<"ε/3."
对任何x’,x”∈[a, ∞)且|x’-x”|<δ=min{δ1,δ2,1}时，必有
x’,x”∈I1或∈I2.
若x’,x”∈I1, 则|f(x’)-f(x”)|<ε;
若x’,x”∈I2,则|f(x’)-f(x”)|≤|f(x’)-g(x’)| |g(x’)-g(x”)| |g(x”)-f(x”)|<ε/3 ε/3 ε/3=ε.
∴任意x’,x”∈[a, ∞),当|x’-x”|<δ时,有|f(x’)-f(x”)|<ε，得证！
一般人能看懂并透彻理解上面的证明过程，已属不易。学完已经是如释重负，哪还会去想什么“二”的心情啊？然而，这里面还是有很多可以思考的东西的。下面老黄就给大家说一说教材里没有告诉我们的“二”。
比如，这个条件是不是必要条件，能不能上升为充要条件。当然，它并不是一个充要条件。因为一致连续函数并不一定存在渐近线，比如cosx和sinx都是[a, ∞)上的一致连续函数，但它们并不存在渐近线。
另外一个问题是，这个充分条件可不可以拓展到R上？
这倒是可以的，因为相反的函数一致连续性不变。所以当a=0时，-f在(-∞,0]也一致连续。假如a<0，那更好办，因为-f在(-∞,-a]上与[a, ∞)有交集，且这个交集为闭区间，所以在这个交集上一致连续，而在(-∞,-a]和[a, ∞)都一致连续，运用上面的方法，就可以证明在R上一致连续。而如果a>=0，则补充定义[-a-1,a 1]部分的函数，使之在这个闭区间上一致连续。就可以证明上面的充分条件在R上也是成立的了。
最后一个问题，既然在R上这个充分条件仍成立，为什么题目不直接证明R上的充分条件，要证明[a, ∞)上的充分条件呢？
因为证明R上的充分条件，使得条件更苛刻，只有那些R上有渐近线的连续函数才符合这个充分条件。那些只在[a, ∞)上有渐近线的函数反而被排除在外，还是需要重新证明，普遍性上就变差了。
那么好，还有一个问题？为什么不在证明[a, ∞)上的充分条件之后，补充说明在R上一致连续的充分条件也成立？
老黄想说，什么都让教材讲完了，我们这些学习高数的人还能做什么？学什么？学习自己不带脑子，能学好吗？
欢迎大家理性提出老黄的错误或不严谨的地方！
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