文 | 宇宙物理学
本文字数2100字，阅读时长9分钟。
世界上有多少种力？
迄今为止，人类发现自然界中一共有四种基本相互作用力，包括引力，强力，弱力和电磁力，而引力是其中发现最早、应用最广的一个。
但是，对于引力的本质的解释，却成了目前科学界最头疼的问题之一，可以这么说，科学界最希望解决的问题排行榜上，“引力的本质是什么？”这个问题，可以排到前5的位置。
著名的硬核科幻电影《星际穿越》中，就把解决引力问题，设定为解决人类生存问题的终极方法——这本身就是一种科学素养的深度体现。
《星际穿越》剧照
今天我们不去讲引力是什么的问题，而是要讲，万有引力定律最初是如何发现的问题。
这个发现主要归功于我们伟大的牛顿；但是，正如牛顿自己所说，他是站在巨人的肩膀上的，这些巨人也对万有引力的发现起着至关重要的作用。
下面具体介绍。
牛顿对万有引力定律的推导，是建立在数据分析的基础上的。
完成数据收集的是大天文学家第谷，完成数据的第一手分析和整理的是，第谷的学生，开普勒。
第谷是一个非常勤奋的天文学家，他三十年如一日地记录星象，形成庞大的数据集；
开普勒继承了老师的勤奋，对这些数据进行了计算和整理——这些计算是非常枯燥的——最终得到三个定律，被后人称为开普勒三大定律。
牛顿的万有引力定律，最初就是脱胎于开普勒三大定律（当然，毫无疑问，牛顿天才的力学三大定律才是决定性的）。下面简单介绍一下，开普勒三大定律：
开普勒第一定律：
行星绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点。
开普勒第二定律：
行星和太阳的连线，单位时间扫过的面积是一定的。
开普勒第三定律：
行星绕太阳运转的周期T和轨道半长轴R之间，满足以下关系：
注意：这个常数，只和太阳有关，和行星本身无关。
推导万有引力定律，最主要的，就是应用这个开普勒第三定律。
03牛顿的力学三大定律牛顿自己的三大定律，当然是推导万有引力最关键的一环。
牛顿建立物理学的基础——力学；
而力学的基础就是——力学三大定律，分别被称为牛一、牛二、牛三。
牛顿第一定律：
牛一，也被称为惯性定律：物体在不受力的情况下，总会保持原来的运动状态不变，直到有外力来改变它。物体的这种，保持原有运动状态不变的能力，被称为惯性。
惯性只与质量有关，质量越大，惯性越大。
从现代物理的角度回看，牛一其实是用“惯性”定义了“什么是质量”，这种质量被称为惯性质量。
甩出水，是因为惯性
牛顿第二定律：
牛顿第一定律定义了质量，牛顿第二定律又通过质量定义了力是什么。
力是什么呢？力就是，要改变一个有质量（即有惯性）的物体的运动状态，所需要施加的作用。包括大小和方向两个要素。
这个作用和物体的质量、物体运动状态改变的快慢（即加速度），三者之间满足一个非常简单的关系：
F=ma，这就是牛顿第二定律。
牛顿第三定律：
任何两个物体之间的作用，都是相互的。你对我有力，我对你也一定有力，而且这两个力大小相等，方向相反，在同一条直线上。
牛顿第三定律，就是我们熟知的作用力和反作用力的关系。
大炮的后坐力
04万有引力的推导上面我们介绍了推导万有引力所需要的基础定律，这里还需要一个运动学方面的公式，那就是圆周运动的向心加速度的表达式。
圆周运动向心加速度：
如果向心加速度知道了，根据牛顿第二定律，向心加速度乘以质量就是向心力。
可以这么简单的说，维持一个圆周运动，需要一个力，这个力被称为向心力。（注意，其实并不存在一个向心力，而是其他所有力的合力，被称为向心力——向心力，并不是某种具体性质的力，而是一个合外力的效果）
向心加速度的表达式如下图。
圆周运动向心加速度的表达式
不失一般性，把椭圆轨道当做圆轨道，则椭圆的半长轴就是圆的半径，设为R。
我们设地球和太阳之间的引力为F，太阳的质量为M，地球的质量为m，并且把开普勒第三定律中的常数用K来表示。
则根据牛顿第二定律：
地球受到的力（太阳对地球的力）：
根据相互作用力的原理，太阳的受力（地球对太阳的力）也等于地球的受力（太阳对地球的力）。即：
此时结合开普勒第三定律：（把常数设为K）
简单联立上述方程，解得：
我们对这个式子分析：
这个式子表明，太阳对地球的力，与地球的质量m有关，与地球和太阳之间距离的平方成反比，剩余影响因子，是一个跟太阳有关的常数K。即：
根据力的对称性，我们可以推断：地球对太阳的力，一定与太阳的质量M有关，与地球和太阳之间的距离的平方有关，剩余影响因子，是一个跟地球有关的常数K'。即：
中间的符号，是正比的意思。
根据牛顿第三定律，太阳对地球的力，等于地球对太阳的力，因此，我们结合两个结论：这个太阳和地球之间的力，一定和太阳的质量有关，又和地球的质量有关，和地日之间的距离有关。即：
以上式子，数学上等价于：
G是一个常数，被称为万有引力常数。
这个式子，就是牛顿的万有引力定律了！
至此，我们用简单的方程，不需要借助微积分，就推导出了万有引力定律了！
05结语万有引力定律的发现是牛顿最重要的贡献之一。
这个定律和牛顿力学三大定律一起，奠定了整个力学，乃至物理学的基础。
这个定律的发现，让我们人类的视野超过了天际，进入宇宙，进入太空。
虽然，引力的本质，目前还没有定论，但是，就万有引力定律而言，已经取得了巨大的成功。
推导万有引力定律，分析牛顿曾经的思路，是一件非常有意思的事情；而用简单的方法，推导伟大的定律，是我们人类最睿智、最激动人心的表演。
（完）
参考资料：
- 《费曼物理学讲义》
- 《苏格爸的奇妙物理》
相关内容如有侵权，请尽快联系宇宙君进行处理；
转载望请联系授权，注意保持完整性并且注明出处
