又是美美
的一波图
用极坐标表示出 5000 和 50000 以内的素数
有技术宅指出公式是，若 p 是素数，则 {(x,y) | x=p*cos(p), y=p*sin(p)} 被标记
求问 5000 以内那个图，俩条白色螺旋线是怎么回事？如何形成的？是线上绝对没有素数吗？原理是什么？和斐波那契螺旋、黄金分割之类的什么关系？
题主的问题实在太有趣了，我半夜爬起来研究这个问题，搬个板凳慢慢讲给你听。
咱不看500到50000那么多的质数了，看500到1500就够了，并且把质数涂成蓝色，把合数涂成红色，就得到：
发现了吧，大概11点钟方向和5点钟方向的确各有三列数全是合数。如果你还是看不太清楚，我把500-20000内的质数和这三条全是合数的线画出来：
数一下第一个图，会发现视觉上向外辐射的螺旋线一共有44条，为什么这44条曲线中恰好有6条上没有质数？下面来解决这个问题。
1.
为什么恰好有44条螺旋线
实际上螺旋线上的自然数并不相互挨着，自然数是跳跃着旋转排列的（相差一弧度也就是约57度），挑出500-550之间的自然数，相邻自然数用短线连上，是这个样子分布的：
如果两个自然数m，n的夹角之差 | m - n | 恰好接近2π的整数倍，它们在图上就会处在同一个方向，也就是一条螺旋线上，而：
恰好是一个非常接近整数的数，所以每隔44个自然数，两个自然数就会落在同一条螺旋线上，而多出来的0.0028，就是为啥每一条螺旋线会轻微逆时针旋转的原因。
2.
为什么有六条螺旋线上没有质数
我们只讨论大于500的自然数，在螺旋线上找到一个已知点后就可以得到：
左上角的三条全合数螺旋线为：536 44k，517 44k，542 44k
右下角的三条全合数螺旋线为：520 44k，514 44k，539 44k
因为536、542、520、514四个数是偶数，所以无论加多少个44结果还是偶数，所以这四条螺旋线全是合数；
因为517和539有因数11，所以无论加上多少个44结果还是能被11整除，所以这两条螺旋线也全是合数。
3.
只有这六条螺旋线上没有质数吗
不是的，只要有一个偶数出现，一条螺旋线上就不会再有质数出现了，因为加多少44还是偶数。
这六条螺旋线只是因为三条相邻线上都没有质数（拜517和539这俩11的奇数倍数出现所赐），连在一起视觉上更加显眼而已。如果把所有没有质数的螺旋画出来，应该是这样：
连续44个自然数中，能被11整除的奇数只有两个，相隔22，这就是为啥只有两条奇葩的对称的全合数螺旋线小集团脱颖而出。
4.
当素数表越来越大时会怎样
我们会发现更多更接近2π倍数的整数，比如：
但下面这个数710则更加接近，并且它是偶数，根据前面的推导，可以看到更多纯合数的悬臂：
1万个自然数跨度上，上面44条螺旋线的悬臂旋转幅度是：
从上面的图片可以验证这一点，每1万个自然跨度下，悬臂旋转半圈多一点。
可以猜测当有很多素数时，将形成710条向外辐射的螺旋线，并且这些螺旋线相当直，每100万个自然数能够使它旋转：
也就是说每一百万个自然数跨度上，这710条悬臂只旋转5度。如果你生成前一亿自然数中的质数图，才能发现悬臂转过一圈。
由于710=2×5×71，可见710条悬臂中编号是2、5、71倍数的悬臂都是纯合数悬臂，我们能找到更多3条相邻悬臂都是合数的情况出现。存在5条相邻的合数悬臂，比如编号为212，213，214，215，216的悬臂。
手头没有那么大的质数表，就不画图了，留个念想。
回答完毕。
=========强迫症的分割线=========
5.
验证猜想
从wiki质数页面链接到一个提供质数表的网站The first fifty million primes，下载了前一百万个质数，现在把区间[1006721, 15485863]之间也就是一百万到一千五百万之间的质数画出来是这样：
数一数，一共有71条粗悬臂，把左边部分拉近点看：
可以看到每一条粗悬臂一般含有四条细悬臂。这是因为10个连续自然数中除去5个2的倍数和两个5的倍数，还剩四个数，只有在这四个数代表的悬臂上才有可能出现质数。十点钟方向上较大的空白是五条相邻的合数悬臂。这些悬臂在跨度1400万的自然数区间内只旋转了不到70度，完美验证了上一节的猜测。
经梅成广提醒，Matlab的A=primes(n)；函数可以瞬间产生比n小的所有质数，好方便有没有！经测试这个函数可以返回值小于1.2亿的所有质数。
Matlab代码如下：
function testprime()
x = [];y = [];x1 = [];y1 = [];x2 = [];y2 = [];
close all
%改下面这个数
n = 10000;
%可以使用primes函数快速生成小于1.2亿的质数
for i=500:n
data(i) = isprime(i);
if data(i)
x(end 1) = i*cos(i);
y(end 1) = i*sin(i);
else
x1(end 1) = i*cos(i);
y1(end 1) = i*sin(i);
end
x2(end 1) = i*cos(i);
y2(end 1) = i*sin(i);
end
%全部质数
plot(x, y, '.');axis equal
%全部合数
figure;plot(x1,y1,'.r');axis equal
%全部自然数
figure;plot(x, y, '.',x1,y1,'.r');axis equal
%自然数，用短线连
figure;plot(x2,y2,'b');axis equal
%突出螺旋线
figure;plot(x, y, '.');axis equal
%A = [536,517,542,520,514,539];
A = 514:2:558;
A(end 1) = 517;
A(end 1) = 539;
for i=1:length(A)
rr = [];
k = A(i);
while k<=n
rr(end 1) = k;
k = k 44;
end
hold on;plot(rr.*cos(rr), rr.*sin(rr), 'r-');
end
end
本文由超级数学建模编辑整理
本文来源于王小龙（知乎）
https://www.zhihu.com/question/24236455/answer/27138389
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