含参一元二次不等式是同学们学习上的一个难点,为帮助同学们突破这一难点,现介绍几种常用的求解策略。
一、利用韦达定理求解
例1 如果关于x的不等式
的解集是
(m<n<0),求关于</n<0
的不等式
的解集。解:由题意知
、
为方程
的两根,且,所以
∴
,
,代入得
。因,
,所以
,即
。由知
,故所求不等式的解集为
。
二、利用分类讨论求解
例2 解的不等式
。解:原不等式化为
。①当
时,有
。若
,不等式的解集为
。若
,不等式的解集为
.若
,不等式的解集为
。②当
时,不等式的解集为
。③当时,有
,不等式的解集为
。
说明:本题讨论标准分两类,第一类是依据二次项系数,第二类是依据二次方程两根的大小。
例3 解关于x的不等式
。解:①当
即
时,
。若△>0,即
时,不等式的解集为
。若
,即
时,不等式的解集为
。若
,即
时,不等式的解集为R。②当
即
时,不等式解集为R。③当
即
时,
恒成立,不等式的解集为
。
说明:本题的讨论标准分两类,第一类是依据二次项的系数,第二类是依据判别式。
三、数形结合,避免讨论
例4 设集合
,
,
,若
,求
的取值范围。解:
,
,
,记
,由,知
=0的两根满足
,由二次函数的图象得
,解得
。
说明:对于数形结合问题,在熟练的基础上,不用画图,可以在脑海中想象图象的形状,使问题的解决更快捷。
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,