一、如何证明公式e＾（ix）＝cosx＋isinx？
我们先设f（x）＝cosx＋isinx，
然后通过复数运算法则知：
f（x）f（y）
＝（cosx＋isinx）（cosy＋isiny）
＝（cosxcosy-sinxsiny）＋i（sinxcosy＋cosxsiny）
＝cos（x＋y）＋isin（x＋y）
＝f（x＋y）
即f（x）f（y）＝f（x＋y）
又∵f（0）＝1，f＇（0）＝i，
∴f（x＋△x）-f（x）
＝f（x）f（△x）-f（x）
＝f（x）（f（△x）-f（0））
两边除以△x并取△x→0的极限得：
f＇（x）＝f（x）f＇（0）
f＇（x）＝if（x）
f＇（x）／f（x）＝i
两边取区间（0，x）上的定积分，运算可得：
Lnf（x）＝ix，
∴f（x）＝e＾（ix），
即e＾（ix）＝cosx＋isinx公式成立。
二、上述结论可直接推出三角形函数的另一种表达式
∵e＾（ix）＝cosx＋isinx
∴e＾（-ix）＝cosx-isinx
两式加减可解出sinx，cosx：
sinx＝（e＾（ix）-e＾（-ix））／（2i），
cosx＝（e＾（ix）＋e＾（-ix））／2。
附图：
