作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
生活中居然能看到如此完美的心形曲线
现象心形曲线也许就在我们身边。
如果您此时手握一盏茶杯，尝试让阳光通过碗沿斜照在内壁一点，若角度合适，此时在茶水水面上就会形成一个心形。
这是怎么回事呢？
如果知道下面曲线的话——
相信读者一定会立即惊呼：这不就是就是心形曲线吗？！我们甚至可以直接写出它的极坐标表达式：
由于三角函数的诱导公式的缘故
心形曲线还有其他的等价形式如上图所示，都是在(1)式的基础上进行旋转、翻折。
所以，此心形曲线是彼心形曲线吗？我们还不能轻易认定，这需要我们用数学严格证明。
我们先把要证明的光学原理写下来：当光线直射在杯内壁一点时，从该点发生漫反射，这相当于将点光源放置在圆上某固定位置，杯壁的圆形截面反射光线形成的包络曲线，即是心形曲线。
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为了方便证明，我们要对原式(1)进行处理：经过适当的平移(向右平移)，可以得到其参数方程为：
我们的目标是计算光线的包络曲线符合上面的参数方程，就算完成证明。
证明
如上图，圆的半径不妨设为，设点是光源，是反射点；和分别是入射光线和反射光线。我们设和轴的夹角为，于是由上图标注的各个角度间的数量关系，我们可以得到下面信息：
入射光线解析式（斜截式）——
接下来我们求包络曲线上的点。入射光线就是曲线的切线，已知曲线的切线簇求曲线上的点的坐标，可以运用极限的思想：当两个切线彼此充分靠近时，它们的交点的极限就是切点——也即是包络曲线上的点.
我们设另一条切线的解析式：
<公式左右滑动可见>
它是在上一条切线的基础上，给变量增加了一点微小的增量
当我们联立直线方程求交点坐标时：
得到公式
<公式左右滑动可见>
然后令趋于零，由导数的定义可得
<公式左右滑动可见>
于是我们将反射光线中的斜率与截距以及它们的导数代入到上面的公式中化简。
<公式左右滑动可见>
即得曲线上的点的坐标。接下来的计算相对冗长，但都是基于最基本的三角函数公式：
和角公式：
令即得——
倍角公式：
读者有兴趣可以依据这些公式自行验证下面的计算。
<公式左右滑动可见>
<公式左右滑动可见>
另，注意到的表达式与商求导公式类似，也可以将其改造成，然后再代入计算，化简效果确实要比上面直接代入要好一点。
显然红色方框内的结果就是我们想要的答案，与参数方程(2)完全一致。
解释最后我们再谈谈物理层面。观察下图，为什么心形曲线比其他地方更亮呢？
用通俗的话来讲，就是包络曲线周围经过的光子比较密集。从微分的观点来看，经过一个弧微分的切线簇和经过一个点的直线束效果差不多——
在光线交汇的地方，光亮的强度产生叠加效应，于是比周围更亮，产生明暗对比，于是曲线就可以被人的肉眼感知。
另外，我们仅仅考虑了光线在容器内的一次反射，为什么不考虑更高次的反射呢？由于一般的容器并不非常光滑，光线经过多次反射之后，漫反射效应叠加，起初平行的光束会逐渐散乱，于是亮度递减。事实上，如果考虑二次反射，则有如下现象：
绿色的线是第一次反射，浅蓝的线是第二次反射
第二次反射的光线也产生了心形的包络曲线，但是在现实中我们已经很难观察到了。
尾声古人有杯弓蛇影的典故，最早记载于东汉学者应劭的《风俗通义·怪神》：
……后郴因事之至宣家窥视，问其变故，云：“畏此蛇，蛇入腹中。”郴还听事，思惟良久，顾见悬弩，必是也。
杜郴最终的推理的结果是：杯中的蛇影有可能是悬弩。我们也可以大胆猜测，“蛇影”还可能是杯中的心形曲线，因为心形曲线确实很像弓弩。这也算是对该典故的一个光学解释。
关于心形曲线的内容还有很多，例如曼德勃罗集合中就含有该曲线。另外关于数论、密码学中，给定模数，将完全剩余系排列成钟表的样子，连接剩余系和它们的2倍，也会形成心形包络曲线……但总的来说，其原理都是心形曲线的光学原理。B站“数学开讲啦”的相关视频《钟表、心形和曼德勃罗集》就对此进行了详细的解说，搜索视频号：BV1ar4y1Q74P，推荐有兴趣的小伙伴观看。
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