高一数学必修一第一章集合单元测试题答案,现在小编就来说说关于高一数学必修一阶段滚动检测卷?下面内容希望能帮助到你,我们来一起看看吧!
高一数学必修一阶段滚动检测卷
高一数学必修一第一章集合单元测试题答案
(时间:120分钟 满分:150分 命题人:周蓉)
一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2017·北京卷)已知全集 U=R,集合 A={x|x<-2或 x>2},
则∁UA=( )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:A={x|x<-2或 x>2},U=R,
∁UA={x|-2≤x≤2},即∁UA=[-2,2].
故选 C.
答案:C
2.已知函数 y=f(x)的对应关系如下表,函数 y=g(x)的图象是如
下图的曲线 ABC,其中 A(1,3),B(2,1),C(3,2),则 f(g(2))的值
为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:由图象可知 g(2)=1,由表格可知 f(1)=2,所以 f(g(2))=
2.
答案:B
3.设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C
=( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.{2} B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6}
解析:因为 A∪B={1,2,6}∪{2,4}={1,2,4,6},
所以(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩{1,2,3,4}={1,2,4}.
答案:B
4.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域
为( )
A.(-1,1) B.-1,-1
2
C.(-1,0) D.12,1
解析:对于 f(2x+1),-1<2x+1<0,解得-1<x<-12,即函数
f(2x+1)的定义域为-1,-1
2 .
答案:B
5.已知 f(x)=2x,x>0,f(x+1),x≤0.
则 f43 +f
-43 的值等于( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
解析:∵43>0,∴f
43 =2×4
3=83,
∵-43<0,∴f
-43 =f
-43+1
=f-13 =
f-13+1
=f23 =4
3,
∴f43 +f
-43 =12
3=4.
答案:B
6.(2017·山东卷)设集合M={x|| x-1|<1},N={ x | x<2},则
M∩N=( )
A.(-1,1) B.(-1,2)
C.(0,2) D.(1,2)
解析:因为M={ x |0<x<2},N={ x | x<2},
所以M∩N={ x |0<x<2}∩{ x | x<2}
={ x |0<x<2}.
答案:C
7.函数 f(x)= 2x+1+x的值域是( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.-12,+∞
D.[1,+∞)
解析:令 2x+1=t(t≥0),则 x=t2-12
,所以 f(x)=f(t)=t2-12
+
t=12(t2+2t-1),当 t∈(-1,+∞)时,f(t)为增函数,又因为 t≥0,
所以当 t=0时,f(t)有最小值-12,所以函数的值域为
-12,+∞
.
答案:C
8.函数 f(x)= 3-x2
x的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称 D.直线 y=x对称
解析:由题意知 f(x)= 3-x2
x的定义域为[- 3,0)∪(0, 3],
关于原点对称.
又 f(-x)= 3-x2
-x=-f(x),
所以 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.
答案:B
9.已知函数 f(x)=ax3-bx-4,其中 a,b为常数.若 f(-2)=2,
则 f(2)的值为( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-10
解析:因为 f(-2)=a(-2)3+b·(-2)-4=2,
所以 8a+2b=-6,所以 f(2)=8a+2b-4=-10.
答案:D
10.已知函数 f(x)=x2+1,x≥2,f(x+3),x<2,
则 f(1)-f(3)=( )
A.-2 B.7
C.27 D.-7
解析:f(1)=f (1+3)=f (4)=42+1=17,
f (3)=32+1=10,所以 f (1)-f (3)=7.
答案:B
11.在整数集 中,被 5 除所得余数为 的所有整数组成一个
"类",记为[ ],即[ ]={5n+ |n∈ }, =0,1,2,3,4,给出如
下四个结论:
①2 016∈[1];②-3∈[3];③若整数 a,b属于同一"类",则
a-b∈[0];④若 a-b∈[0],则整数 a,b属于同一"类".
其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由于[ ]={5n+ |n∈ },对于①,2 016除以 5等于 403余
1,所以 2 016∈[1],所以①正确;对于②,-3=-5+2,被 5除余
2,所以②错误;对于③,因为 a,b是同一"类",可设 a=5n1+ ,
b=5n2+ ,则 a-b=5(n1-n2)能被 5整除,所以 a-b∈[0],所以③
正确;对于④,若 a-b=[0],则可设 a-b=5n,n∈ ,即 a=5n+b,
n∈ ,不妨令 b=5m+ ,m∈ , =0,1,2,3,4,则 a=5n+5m
+ =5(m+n)+ ,m∈ ,n∈ ,所以 a,b属于同一"类",所以
④正确.则正确的有①③④.
答案:C
12.设数集M同时满足以下条件:①M中不含元素-1,0,1;
②若 a∈M,则1+a1-a
∈M.则下列结论正确的是( )
A.集合M中至多有 2个元素
B.集合M中至多有 3个元素
C.集合M中有且仅有 4个元素
D.集合M中有无穷多个元素
解析:因为 a∈M,1+a1-a
∈M,所以1+1+a
1-a
1-1+a1-a
=-1a∈M,所以
1+ 1-a
1- 1-a
=a-1a+1
∈M,又因为1+a-1
a+1
1-a-1a+1
=a,所以,集合M中有且仅有 4 个元
素:a,-1a,1+a1-a
,a-1a+1
.
答案:C
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填
在题中横线上)
13.用列举法表示集合M= m|10
m+1∈Z,m∈Z
=________.
解析:由10
m+1∈ ,且 m∈ ,知 m+1是 10的约数,故|m+1|
=1,2,5,10,从而 m的值为-11,-6,-3,-2,0,1,4,9.
答案:{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}
14.函数 y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为 4,则 a=
________.
解析:因为 a>0,所以函数 y=ax+1在区间[1,3]上是增函数,
所以 ymax=3a+1=4,解得 a=1.
答案:1
15.已知全集 U={2,4,a2-a+1},A={a+4,4},∁UA={7},
则 a=________.
解析:a2-a+1=7,a2-a-6=0,解得 a=-2,a=3,检验知
a=-2.
答案:-2
16.若函数 f(x)满足 f(x)+2f1x =3x(x≠0),则 f(x)=________.
解析:因为 f(x)+2f1x =3x,①
所以以1x代替 x,得 f
1x +2f(x)=3
x.②
由①②,得 f(x)=2x-x(x≠0).
答案:2x-x(x≠0)
三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10分)集合 U=R,集合 A={x|x2+mx+2=0},
B={x|x2-5x+n=0},A∩B≠∅,且(∁UA)∩B={2},求集合 A.
解:因为(∁UA)∩B={2},
所以 2∈B,2∉A,
所以 2是方程 x2-5x+n=0的根,
即 22-5×2+n=0,
所以 n=6,所以 B={x|x2-5x+6=0}={2,3}.
由 A∩B≠∅知 3∈A,即 3是方程 x2+mx+2=0的根,
所以 9+3m+2=0,所以 m=-113.
所以 A= x|x2-113x+2=0
=23,3
.
18.(本小题满分 12分)已知集合 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<
-1或 x>5}.若 A∩B=∅,求 a的取值范围.
解:若 A=∅,则 A∩B=∅,
此时 2a>a+3,解得 a>3.
若 A≠∅,由 A∩B=∅,得2a≥-1,a+3≤5,2a≤a+3,
解得-12≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是a|-1
2≤a≤2或 a>3
.
19.(本小题满分 12分)设函数 f(x)对任意实数 x,y都有 f(x+y)
=f(x)+f(y),且 x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求证 f(x)是奇函数;
(2)求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明:令 x=y=0,则 f(0)=0.
再令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,
所以 f(-x)=-f(x).故 f(x)为奇函数.
(2)解:任取 x1<x2,则 x2-x1>0,
所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,
所以 f(x)为减函数.
又 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,
所以 f(-3)=-f(3)=6.
故 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.
20.(本小题满分 12分)已知函数 f(x+1)=2x+1x+2
.
(1)求 f(2),f(x);
(2)证明:函数 f(x)在[1,17]上为增函数;
(3)试求函数 f(x)在[1,17]上的最大值和最小值.
解:(1)令 x=1,则 f(2)=f(1+1)=1.
令 t=x+1,则 x=t-1,
所以 f(t)=2t-1t+1
,即 f(x)=2x-1x+1
.
(2)证明:任取 1≤x1≤x2≤17,
因为 f(x1)-f(x2)=2x1-1x1+1
-2x2-1x2+1
=3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1).
又 1≤x1<x2,所以 x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)<0,即 f(x1)<f(x2),
所以函数 f(x)在[1,17]上为增函数.
(3)由(2)可知函数 f(x)在[1,17]上为增函数,
所以当 x=1时,f(x)有最小值12;
当 x=17时,f(x)有最大值116.
21.(本小题满分 12分)某商场经销一批进价为每件 30元的商品,
在市场试销中发现,此商品的销售单价 x(元)与日销售量 y(件)之间有
如下表所示的关系:
x 30 40 45 50
y 60 30 15 0
(1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,
y)的对应点,并确定 y与 x的一个函数关系式;
(2)设经营此商品的日销售利润为 P元,根据上述关系,写出 P
关于 x的函数关系式,并指出销售单价 x为多少元时,才能获得最大
日销售利润?
解:(1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对
应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示.
设它们共线于直线
y= x+b,则50k+b=0,45k+b=15,
k=-3,b=150.
所以 y=-3x+150(0≤x≤50,且 x∈N ),经检验(30,60),(40,
30)也在此直线上.
所以所求函数解析式为 y=-3x+150(0≤x≤50且 x∈N).
(2)依题意 P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=
-3(x-40)2+300.
所以当 x=40时,P 有最大值 300,故销售单价为 40元时,才
能获得最大日销售利润.
22.(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=x+mx,且 f(1)=2.
(1)判断函数 f(x)的奇偶性;
(2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结
论;
(3)若 f(a)>2,求实数 a的取值范围.
解:由 f(1)=2,得 1+m=2,m=1.
所以 f(x)=x+1x.
(1)f(x)=x+1x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=-x+ 1-x
=-x+1
x =-f(x).
所以 f(x)为奇函数.
(2)f(x)=x+1x在(1,+∞)上是增函数.
证明:设任意的 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)-x1-x2x1x2
=(x1-x2)x1x2-1x1x2
,
因为 1<x1<x2,
所以 x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,
所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
所以 f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)设任意的 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2,
由(2)知 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2,
由于 x1-x2<0,0<x1x2<1,
所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
所以 f(x)在(0,1)上是减函数.
由 f(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数,且 f(1)=2
知,
当 a∈(0,1)时,f(a)>2=f(1)成立;
当 a∈(1,+∞)时,f(a)>2=f(1)成立;
而当 a<0时,f(a)<0,不满足题设.
综上可知,实数 a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).
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