泰勒公式求极限时的条件 泰勒公式教你彻底解决极限题

在求极限的时候，出题人经常把 sin 、 ln 、 ex 、 1/x 混在一起做四则运算，用洛必达法则虽然“简单”，但限制条件过多，有些出题人还故意出不能用洛必达的题，让初学者们洛也不是，不洛也不是.

至于极限的四则运算、等价无穷小、代入......就更麻烦了，而且做错了的话，死都不知道自己死在哪一步上. 现在万能方法来了——泰勒展开！

泰勒展开不仅能解题，更重要的是还能解释为什么有的时候不能用洛必达法则.

另外，在文章的最后给出了其它方法（非泰勒展开）的函数近似例子.

一、泰勒公式怎么来的

自从导数被发现以后，数学家们好似发现新大陆一样，不管是否严谨，先研究了再说。

然后某一天有人突然发现，诶， y=sin⁡x 和 y=x 在原点处好像重合度挺高的

那是不是就可以用 y=x 来近似代替 y=sin⁡x 在原点处一小段图像呢

你以为数学家满足于这？

绝对不可能！

后来，有人发现 y=x−x36 和 y=sin⁡x 好像更接近了

不对劲！非常不对劲！？一次函数只在原点附近像，三次函数更像，都会学正弦拐弯了.

那继续加次数不就拐的弯越来越多，也就越来越像了吗？

这是47次多项式对正弦函数的近似

按数学家们的德行，一维二维三维都能给你推到无穷维，这点规律还想瞒得住那些天才们吗? 想什么呢

于是泰勒就在用幂函数近似表示其它恶心人的函数的道路上越走越远.

终于还是走到了任意项

二、泰勒展开的本质(非证明)2.1 一个函数长什么样子是取决于什么？

有人会说：每一个点的函数值

对！但如果仅此而已，那说明你还没有窥察到函数的更深层

假如现在知道函数上一个点和导函数，同样也能得到这个函数

(后面学了积分就会知道，其实把导数积分，然后带入那个点，确定常数 C 就会得到原函数)

进一步，如果知道函数上一个点、该点处导数值、二阶导函数，也能得到这个函数

再进一步，如果知道函数上一个点、该点导数值、二阶导数值、三阶导函数，还是能得到这个函数

以此类推

如果知道了函数在某一个点处函数值、一阶导数值、二阶导数值......任意阶导数值，是不是也能得到这个函数？

到这里，我们就可以用某点处所有阶导数的值来代替一个函数.

然后再给 n 阶导数配上一个 n 次幂函数就产生了泰勒展开公式

为什么是幂函数呢？

五大初等函数里面只有幂函数能通过求有限次导数消成 0. 而且这个公式本身就是为了用简单函数近似其他函数，没必要找个更恶心的函数来恶心自己.

至于为什么分母会出现阶乘, 那么这个是分子 xn 求 n 阶导等于 n! 的结果，因为最后要消掉系数.

2.2 下面，我们来用上面的思想检验一下泰勒展开公式

为了方便观察，我们把泰勒公式逐项写出来

对比等号左右两边，左边大概率不是一个幂函数，比如 sin⁡x ，而等号右边是一个幂函数.

先看原函数 f(x) ，带入 x=0 ，左边是 f(0) ，右边除了第一项 f(0) ，后面都是 0 ，左右两边相等.

再看一阶导函数 f′(x) ，对左右两边同时求导，

左边是 f′(0) ，右边求导是

带入 x=0 得到的也是 f′(0) ，左右两边相等

以此类推

三、常用泰勒公式

这里只贴几个做题常用的公式，不常用的可以现推

四、泰勒展开比洛必达法则的优势

知乎里的 @马同学 在他的文章里引用了《微积分之倚天宝剑》里面的一段话，放在这里再合适不过了

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如 f(x)=2−3x ，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时 f(x) 会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到 2−3×4=−10 ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是 ln(x) 阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”----《微积分之倚天宝剑》

不过，这里我更想单独说一下泰勒展开在求极限时的独特优势. 那就是：凡是洛必达能做的，泰勒公式都能做，洛必达不能做的，泰勒公式还能做！

简单来说，洛必达法则就像挤牙膏一样，你去挤一次，它就降一次，而且有的时候洛完之后极限就不存在了；但是泰勒展开一劳永逸地把任意函数换成幂函数，性质一览无遗.

下面用一个例子帮大家理解这句话.

用泰勒展开就是

在极限是趋于 0/0 的情况下，决定极限结果的项通常是次数更低的项；

泰勒展开后，次数最低的是常数项，而常数项都消掉了，其余的项都带有 x ，当我们把 x=0 带入的时候，分子分母都就变成了 0 ，这也是为什么会有未定式 0/0 ；

当我们用一次洛必达之后，次数降了 1 ，原来的一次项成为了常数项，但是这道题中泰勒展开中的一次项也能消掉，也就意味着洛必达之后的常数项可以消掉。而其余的项有都带有 x ，带入 x=0 后又一次变成了未定式 0/0 ；

所以不得不再用一次洛必达，次数再降 1 ，最初的二次项成为了常数项，观察泰勒展开后的式子中 x2 项并未消掉，说明洛必达两次之后存在常数项，同时分母是 2 不再带有 x ，带入 x=0 之后就不是未定式 0/0 了.

所以，对于一些要多次使用洛必达的题目，使用一次泰勒展开就能解决。这种题目的低次项通常都能消掉，消的越多说明要用洛必达的次数越多。

当然，我们必须在展开的时候选取适当的项数，不能太少，防止全被消掉，不就白做了吗；同时不能过于保守，直接保留泰勒展开的前十项，计算量太大，可能还不如洛必达法则简便。

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