【试题来源】
2020-2021学年度包头市青山区初三年级第一学期期末考试数学试题25题
如图,已知四边形ABCD为正方形,AB =4√2,点E为对角线AC上一动点，连接 DE、过点E作EF丄DE.交BC点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
（1）求证:矩形DEFG是正方形；
（2）探究:CE CG的值是否为定值？若是，求出这个定值;若不是,请说明理由。
【知识点分析】
此题是以正方形为载体的有关四边形的综合问题，主要考查了以下知识点：
（1）正方形的性质与判定；
（2）三角形的全等的性质及判定；
（3）同角或等角的余角相等；
（4）作出适当的辅助线；
（5）和为定值的合理转化（转化思想）。
【思路分析】
（1）第一问要证明矩形DEFG是正方形，而在矩形基础上证明正方形的判定方法有两个，一是有一组邻边相等的正方形是矩形，另一个是对角线互相垂直的矩形是正方形，观察此图我们会优先考虑证明有一组邻边相等的情况，而证明线段相等通常是考虑证三角形全等或者等腰三角形等边三角形等有相等线段图形中的相等线段，显然此题需要证明三角形全等，此时我们便可考虑作垂直的辅助线构造两个全等的三角形（△EMF和△END）.要想证明这两个三角形全等，作完辅助线后易得一组对应角相等（∠EMF=∠END=90°），另外也容易证明四边形EMVN为正方形，从而得出一组对应线段相等（EM=EN），已知一边一角对应相等，我们证明全等的方法便只有边角边以及角边角，此题如果用边角边来证明，另一边相等的情况不易得出，而另一角观察可以发现利用同角的余角相等得出，进而证明三角形全等，后面过程也就迎刃而解。
（2）第二问是一道探究线段和是否为定值问题，通常此类问题的做题思路为先假设问题是成立的，进而证明即可。既然假设问题成立，那么通常线段的和可以转化为一条定线段。观察图形我们会发现似乎CG=AE，那么如果CG=AE，我们便可证明CE CG的值为定值，此时问题转化为证明线段CG、AE是否相等了，证明线段相等的思路第一问我们已经阐述，此问不再赘述，通过观察图形发现似乎△CGD≌△AED，那么我们利用已有的条件便可得出，进而此问得解。
【试题详解】
解：(1)如图所示.过E作EM丄BC于M点，过E作EN丄CD于N点.
因为正方形ABCD,
所以∠BCD = 90°. ∠ECN =45°.
所以∠EMC =∠ENC = ∠BCD = 90°，NE = NC
所以四边形EMCN为正方形
所以EM = EN, ∠DEN ∠NEF = ∠MEF ∠NEF = 90°,
所以∠DEN= ∠MEF.
又因为∠DNE = ∠FME=90°.
在△DEN 与△FEM 中
因为∠DEN = ∠FME，EN = EM ,∠DEN = ∠FEM
所以△DEN≌△FEM( ASA).
所以ED = EF,
又因为四边形DEFG是矩形，
所以矩形DEFG为正方形.
(2) CE CG的值为定值.理由如下：
因为矩形DEFG为正方形.
所以DE = DC,∠EDC ∠CDG=90°,
因为四边形ABCD是正方形.
所以AD = DC,∠ADE ∠EDC=90°,
所以∠ADE = ∠CDG,
在△ADE与△CDG中
因为AD = CD ，∠ADE ＝∠CDG，DE=DG
所以△ADE≌ACDG(SAS).
所以CG=AE
所以CE CG=AE CE=AC=√2AB=√2×4√2 = 8,
所以CE CG=8是定值.
【解题建议】
遇到综合性性问题，不要恐慌，大家可以先梳理题目中涉及的知识点，回忆知识点的相关内容及联系，然后从问题入手寻找解决问题的思路，只要大胆心细知识扎实，此类问题也不会有太大的难度。
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