作者 | 重庆 辛酉丑
人生如戏，精彩源于编剧；
爱情似棋，幸福在于博弈。
有人说：爱情是冰山的雪莲，爱情是大海的珍贝，爱情是千百次轮回修来的缘分，叫人苦苦追寻。也有人说：爱情是天上浮云，爱情是游离的眼神，爱情是六月天飘下来的雪花，叫人难以把握。茫茫人生中，究竟如何规避错爱，如何捕捉真爱，约瑟芬的抉择值得我们借鉴和学习。
传说古代有一个萨拉王国，国王有一位可爱的女儿，她就是公主约瑟芬，
二八妙龄，才华出众，引得众多青年倾慕，考虑到自己的出身和地位，许多青年不敢向
公主表达爱意。宰相马尔罕，有个儿子叫本罕，品行败坏，飞扬跋扈，谁料到
癞蛤蟆也想吃天鹅肉，他恳求父亲向国王提亲。本罕的臭名国王早有耳闻，若把约瑟芬许配给这个坏小子，等于将
公主推向火坑。国王转念一想：马尔罕是朝中重臣，国家栋梁，国家需要这样的人才，如果得罪他，今后谁来为国家效力？约瑟芬这孩子很聪明，她的点子多，也许约瑟芬有更好的办法回绝他。国王于是对马尔罕说：“爱卿，请起。谢谢你对约瑟芬的厚爱，我一定把贵公子的心意向约瑟芬转达，我想她听到这个消息一定很高兴。但是，约瑟芬这孩子性格倔强，什么事都喜欢自己作主，为了避免尴尬和意外，我打算先征求
公主的意见，过两天再回复你。”
马尔罕见国王既没有同意，也没有回绝。他不知道说什么好，只得唯唯应诺：“谢谢陛下！谢谢陛下！”
事后国王向公主说起此事，他以为
公主会生气，谁知约瑟芬噗嗤一笑：“这小子怎么会有这样的想法呢？”然后开心地对国王说：“既然这小子来求婚，答应他就是！”
国王惊愕道：“孩子，你怎么能答应他呢？难道你不知道这小子是头呆驴吗？”
公主说：“我知道呀，全城的人都知道，我怎么会不知道？”
国王：“既然你知道，为什么还要答应这头呆驴？”
公主笑着反问国王：“既然你知道这小子是头呆驴，为什么不一口回绝他？”
国王：“我是考虑他父亲是朝中重臣，国家栋梁，不想得罪他。”
公主装作生气的样子说：“你当好好先生，把难题推给我。”
国王：“我知道你聪明，一定能想出一个两全其美的办法，既可以回绝他，又不得罪他。”
公主：“父王，放心吧！用我们的传统仪式就可以淘汰他。”
国王有些疑惑：“真的吗？孩子，终身大事可不是儿戏，一定要深思熟虑。”
公主：“父王，放心吧！我不是小孩子，我已经长大了。”
看到约瑟芬信心十足的样子，想到她平时聪明伶俐的表现，国王如释重负，放心的回宫了。
国王召见马尔罕，语重心长地对他说：“儿女的婚姻大事不是小事，为了孩子的幸福，你我都不能擅自作主。约瑟芬是虔诚的基督信徒，凡事都听从上帝的旨意，她建议用我们的传统仪式来确定。如果仪式最后剩下的是本罕，那是上帝的旨意，谁也不能更改。”
违背上帝旨意肯定不会有好结果，马尔罕觉得约瑟芬的建议很有道理。
传统仪式规定：
在大厅安放 8 根凳子，如图（1），再从宫中选出六名伴娘，让公主、本罕和伴娘围坐在大厅中，然后由礼仪大臣投掷两枚骰子，根据骰子点数，以
公主位置为起点，顺时针报数淘汰。例如，两枚骰子点数和是 ，就从
公主开始报数，1、2、┅、；1、2、┅、，每报数到 ，这个人就淘汰出列，如此下去，直到剩下最后一个人为止。如果最后剩下的是求婚者，那么求婚者就可以成为
公主的丈夫，否则求婚者失败。
宰相一家准时来到皇宫，马尔罕不愧是宰相，仪式还没开始，他就默默推算：“既然是掷骰子确定，总共 8 个人，儿子选中的机会只有 ，概率太小。”想到这里，他立即请求国王多给几次机会。国王想了想，同意给本罕三次机会，马尔罕听后很高兴。
仪式开始，约瑟芬彬彬有礼地让本罕先入座，然后公主紧邻本罕右侧入座，最后 6 名伴娘入座。礼仪大臣投掷两枚骰子，骰子点数和为 5。礼仪大臣一边指点人头，一边大声报数：“1，2,3,4,5,1,2,3,4,5，……”很快本罕就被淘汰；接着礼仪大臣第二次投掷骰子，点数和为 7，礼仪大臣又一边指点人头，一边大声报数：“1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,……”本罕很快又被淘汰了；接下来礼仪大臣又第 3 次投掷骰子，点数和为 8，礼仪大臣又一边指点人头，一边大声报数：“1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,……”本罕依然被淘汰；宰相马尔罕有些失望，他不甘心，跪下来恳求国王再给本罕一次机会。国王考虑到马尔罕为国家做了很多贡献，同意再给本罕一次机会。
公主仍彬彬有礼地让本罕先入座，自己又紧邻本罕右侧入座，礼仪大臣第 4 次掷出骰子点数和为 9，但是本罕还是被淘汰了。本罕的母亲仍不甘心，她向马尔罕和本罕使眼色，全家人一起跪在国王面前，恳求国王看在本罕一片痴情的份上，再给儿子一次机会。“可怜天下父母心”，马尔罕夫妻的真情打动了国王，国王最后又给了本罕一次机会。
公主还是彬彬有礼地让本罕先入座，自己仍紧邻本罕右侧入座。可是，第 5 次本罕依然被淘汰。宰相马尔罕摇头叹息：“天命！”一家人郁闷地打道回府了。
看着马尔罕离去的背影，国王百思不得其解，他把约瑟芬叫到身旁，问道：“八个人围坐一圈，投 1 次骰子，本罕被选中的概率是 ，我给了本罕 5 次机会，本罕被选中的概率应该是 ，大约为 ，但是，本罕却失败了，难道真的是上帝的旨意吗？”
公主嫣然一笑，“既是上帝的旨意，也是我的主意，他人品太差，无论给他多少次机会，上帝都不会同意他的请求。”
国王满脸疑惑，“按你的意思，既是给他一百次机会也是失败吗？怎么可能？这究竟是怎么回事呢？”
“父王，这个问题不是概率问题，你从概率角度思考，肯定想不通，这个问题其实是这样的。”约瑟芬一边说，一边拿出纸笔给国王讲解：
仪式规定按顺时针报数淘汰，出于礼貌，我每次都请本罕先入座，然后我坐在他的右手边，每次报数都从我开始，相当于我始终是 1 号位置，本罕始终是 2 号位置，六位伴娘分别坐的 3，4，5,6,7,8 号位置。如图（3）。但是，2 号是最倒霉的位置，无论骰子掷出几点，2 号都会被淘汰。
讲到这里，国王好奇地问：“按你的意思，每个位置被淘汰的概率不相等吗？八个位置中 2 号是倒霉的位置吗？”
约瑟芬肯定地说：“2 号是最倒霉的位置，无论骰子掷出几点，他都会被淘汰。” 然后逐一向国王解释。
1．如果骰子点数和为 2，淘汰顺序为 2，本罕第 1 个被淘汰；
2．如果骰子点数和为 3，淘汰顺序为 36152，本罕第 5 个被淘汰；
3．如果骰子点数和为 4，淘汰顺序为 4852，本罕第 4 个被淘汰；
4．如果骰子点数和为 5，淘汰顺序为 52，本罕第 2 个被淘汰；
5．如果骰子点数和为 6，淘汰顺序为 6435872，本罕第 7 个被淘汰；
6．如果骰子点数和为 7，淘汰顺序为 7682，本罕第 4 个被淘汰；
7．如果骰子点数和为 8，淘汰顺序为 813652，本罕第 6 个被淘汰；
8．如果骰子点数和为 9，淘汰顺序为 136452，本罕第 6 个被淘汰；
9．如果骰子点数和为 10，淘汰顺序为 2，本罕第 1 个被淘汰；
10．如果骰子点数和为 11，淘汰顺序为 37562，本罕第 5 个被淘汰；
11．如果骰子点数和为 12，淘汰顺序为 41832，本罕第 5 个被淘汰。
看完约瑟芬的解释，国王点头说道：“哦！我以为掷骰子是随机的，坐哪个位置都一样，原来不是这么一回事。看来掷骰子也未必公平，有时骰子也骗人。”
情郎的机智
话说公主约瑟芬在一次宴会上爱上了青年乔治，由于乔治的父亲是一个小官，社会地位比国王差几个档次，他不敢向国王提亲。在
公主的多次鼓励下，乔治才鼓足勇气向国王表达了自己对约瑟芬的爱慕。国王嫌弃乔治的出身，可是面对
公主恳求的眼神，实在不忍心拒绝。国王有意为难乔治，同时也想考验乔治的智慧，他决定还是通过传统仪式来考查乔治，也给他 3 次机会。国王转念一想：约瑟芬掌握了传统仪式的决胜策略，她很可能把决胜策略告诉乔治。国王打算对传统仪式进行改进，决定增加两位伴娘，加上乔治和
公主共 10 人，将六面体骰子改为正四面体骰子，骰子表面的点数分别为 1、2、3、4，如图（4）。淘汰方法仍然根据骰子点数顺时针报数淘汰。
仪式开始，国王知道约瑟芬机灵，担心她舞弊，国王要求公主先入座，然后请乔治入座，聪明的乔治略有所思，他没有选择
公主身边相邻的位置入座，而是选择
公主左侧第二个位置坐下，最后让 8 名伴娘入座。礼仪大臣投掷两枚骰子，最后剩下的果真就是乔治。真是天赐良缘，有情人终成眷属。
尽管乔治成功留下来，国王对他还是不放心，心里默默思量：“从本罕失败的原因可以看出，每个位置被选中的概率不相同，究竟哪个座位被选中的概率最大？乔治被选中是偶然的运气，还是他聪明的智慧赢得了爱情？”想到这里，国王拿出纸笔，按上次约瑟芬教的方法开始演算：
从选拔过程来看，可以假设公主坐的 1 号位置，那么乔治坐的是 3 好位置，其他位置分别定义为 2、4、5、6、7、8、9、10。如图（5），下面探究两枚骰子投掷不同点数后剩下的号数情况。
1．当骰子为 2 点，最后剩下被选中的为位置 5；
2．当骰子为 3 点，最后剩下被选中的为位置 4；
3．当骰子为 4 点，最后剩下被选中的为位置 5；
4．当骰子为 5 点，最后剩下被选中的为位置 3；
5．当骰子为 6 点，最后剩下被选中的为位置 3；
6．当骰子为 7 点，最后剩下被选中的为位置 9；
7．当骰子为 8 点，最后剩下被选中的为位置 1；
算到这里，国王发现最后剩下被选中的位置没有 2 号、6 号、7 号、8 号和 10 号，如果乔治稍有疏忽，只要选中这些位置就彻底失败。国王觉得这小子运气不错。但是，其他 5 个位置都有被选中的可能，再算一算，看看这个 5 个位置哪个被选中的概率最大？
且看骰子点数出现的概率情况：
令座位对应的随机变量为 （其中 ），骰子点数对应的随机变量为 （其中 ）。可以求出：
算到这里，国王发现：乔治坐 3 号座位，被选中的概率最大，在 3 次投掷骰子的选择中，乔治被选中的概率为
看来乔治被选中不是运气，这小子真的很聪明。
且说公主和乔治结婚后，夫妻恩爱，幸福美满。但“天有不测风云，人有旦夕祸福”，勇敢的乔治在一次战争中牺牲了。美丽的约瑟芬成了寡妇，她在悲伤中沉沦多年，终于在国王的关爱下慢慢振作起来，老国王非常高兴，在全国张贴告示为
公主征婚，希望可以为
公主再找到一位良人，由于
公主的聪明才智早已传遍全国，许多优秀男士前来求婚。国王见女儿人气如此高，决定进行海选。考虑参选人数太多，国王打算把传统的选拔仪式简化，取消掷骰子过程。选拔方案如下：
1．选择方法是：由公主根据自己的意愿任意挑选一个人作为起点，让求婚者报数，1、2、1、2、┅，每报数 2，这个人就淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止。如果是小组初赛，最后剩下的人就是候选人；如果在决赛中最后剩下的人就是
公主的丈夫；
2．首先进行小组初赛：礼仪大臣将求婚者分为 70 组，每组 128 名，通过仪式选出 1 名作为候选人；
3．然后进行决赛：从 70 名候选人中选出 1 名优胜者作为约瑟芬的丈夫；
一见钟情真的不是传说，求婚者中有一位青蛙王子，家世显赫自不必说，关键是形象潇洒，才华出众，
公主的心像被磁铁吸引一样，选拔还未开始，她就悄悄爱上了
青蛙王子。但是，
公主就是
公主，她和一般小青年不一样，一般的小青年只会躲在闺房里衣带渐宽人憔悴，她丝毫没有表露自己的心事，很快就从感性走向理性。她思忖着：既有初赛，又有决赛，每场选拔赛人数众多，怎样才能把心仪的
青蛙王子留下来呢？约瑟芬苦苦思索，拿出纸笔，开始演算。
公主首先探究一些特殊情况，想看看有无规律：
1．如果圈上总人数为 2 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
2．如果圈上总人数为 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
3．如果圈上总人数为 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
4．如果圈上总人数为 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
公主猜想：如果圈上总人数为 个人，根据淘汰法则最后剩下的一定是 1 号位置（即起点位置）。
显然，在小组赛中，由于 ，要想把青蛙王子留下来，只需把
青蛙王子作为起点（1 号位置）报数就行了。
初赛的决胜策略找到了，公主脸上露出了笑容。很快她又陷入沉思：70 个小组有 70 个候选人，决赛中的 70 不能表示为 2 的方幂（不存在自然数 n 使得 ），如何选择起点，才能把心仪的人留下来呢？
成熟的女人就是不一样，竟然从追求爱情转向研究数学。约瑟芬思来想去，开始回顾先前的研究结论：
如果圈上总人数为 个人，让求婚者报数，1、2、1、2、┅，每报数 2，这个人就淘汰出列，如此下去，那么最后剩下的一个人一定是 1 号（即起点位置）。
爱情的力量很强大，爱情的魅力很神秘，约瑟芬的大脑像一台大功率的发动机那样飞速地运转着，她的灵感来了，奇迹般的想到数学家煮饭的故事：
煮饭的流程是淘米、加水、点火三个步骤，数学家看到锅里有水，心想：空锅可以煮饭，现在锅里有水怎么办？把锅里的水倒掉变成空锅就行了。
约瑟芬点头微笑，喃喃自语，“转化思想真好！既然圈上总人数为 个人，根据仪式的淘汰法则最后剩下的必是 1 号位置。如果圈上的总人数不是 个人，可以先淘汰几个人，把圈上的人数变为 个人。现在决赛时圈上总人数为 70 个人，而 ，可以根据淘汰法则先淘汰 6 个人，使圈上剩下的人数变为 ，再以 13 号位置作为起点，根据淘汰法则，最后剩下的必是 13 号。决赛时只需把青蛙王子前面的第 12 个人作为起点开始点数，这样剩下来的一定是 13 号的
青蛙王子。”
至此，公主本该停笔休息，但是
公主已经爱上了数学，“数学真是好东西！”她一声赞叹，转念一想：这个问题有无巧解？有没有一种快捷取胜的方法？既然“总人数为 个人，让求婚者报数，1、2、1、2、┅，每报数 2，这个人就淘汰出列，如此下去，那么最后剩下的一个人一定是 1 号（即起点位置）。这个问题也许与二进制有关。”
想到这里，公主又回过头从二进制角度进行研究。
1．如果圈上总人数为 2 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
即：
2．如果圈上总人数为 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 1 号位置；
即：
3．如果圈上总人数为 5 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 3 号位置；
即：
4．如果圈上总人数为 70 个人，根据淘汰法则最后剩下的是 13 号位置；
即：
公主猜想：如果圈上总人数为 个人，将 转化为二进制数，令 ，根据淘汰法则最后剩下的一定是 号位置。（即，将总人数的二进制数的首位数字 移到末位，得到一个新的二进制数，这个新的二进制数就是最后剩下位置的初始编号。）
不知是数学给寻找真爱提供了方法，还是爱情给数学研究注入了动力。约瑟芬发现如此奇妙的解答方法，她越发佩服数学的神奇。一点不觉得疲倦，继续研究，对自己猜想给出了严格证明：
设 ，根据前面的方法，应该先在圈上淘汰 个人（圈上剩下的人数为 ），此时报数已经到 .
又 ，接下来就是以 号位置为起点继续报数.
由于圈上只有 个人，所以最后剩下的人的位置号数就是 ，这个数正好就是将 的首位 1 移动到个位得到的二进制数 .
如果青蛙王子看到这个完美得结论，肯定会赞叹不已。但是，约瑟芬并没有罢手，她真的被数学迷住了，她皱起眉头，还在苦苦思索：
1．如果圆圈上有 100 个人，求婚者报数 1、2、3、1、2、3、┅，每报数 3，这个人就淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是优胜者，这个问题是否与三进制有关呢？
2．如果圆圈上有 100 个人，求婚者报数 1、2、3、4、1、2、3、4、┅，每报数 4，这个人就淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是优胜者，这个问题是否与四进制有关呢？
3．如果圆圈上有 个人，求婚者报数 1、2、┅、；1、2、┅、，每报数 ，这个人就淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是优胜者，这个问题是否与 k 进制有关呢？
作者简介：辛酉丑，重庆潼南人，1991年7月毕业于西南师范大学数学系，重庆南开中学正高级教师，重庆“322”重点人才(二层次)，重庆学术技术带头人后备。主持省级课题2项,主研省级课题2项，参与国家级课题2项；参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版专著《数学与生活》，《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇，其中核心期刊20多篇；数学教育论文曾获全国紫京杯数学教育创新论文一等奖,初等数学论文获全国第二届青年初等数学研究奖；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇，指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营，中国数学会三次授予优秀教练员。近几年在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二师范学院、重庆三峡学院以及重庆部分区县教师进修学院和一些中学主讲40多场。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道。
|
14 |
可恶的数学题 |
|
15 |
变 |
|
16 |
转移法 |
|
17 |
二次函数只是开始 |
|
18 |
懂事 |
|
19 |
雪儿 |
|
20 |
