题一、化简((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴
分析题目分析题目,复杂的无理数化简,显然直接四次方展开,计算量太大,不是好的思路,这种我们显然需要转换思路,利用两个四次方底数的相互关系来凑配多项式组合的形式,以简化计算过程,方能高效率解题,据此分析,我们直接引入参数P何Q,设定,p=(√5 √3−√2)/√2,q=(√5−√3 √2)/√2
接着我们建立P何Q的强相互关系,首先求二元积的值,即,pq=(√5 √3−√2)/√2×(√5−√3 √2)/√2
可以看出分母是根号二的平方,分子刚好是一个平方差公式,展开后得到,pq=(5−(√3−√2)²)/2
继续展开分子的平方项次,刚好整数5抵消掉了,则最后算得pq=√6
接着计算p q代入P和Q的值,即得到,p q=(√5 √3−√2)/√2 (√5−√3 √2)/√2
同分母相加,分子相加即可,刚好根号3和根号二都抵消掉了,最后算得p q=√10
这样我们就得到了二元何的值,以及二元积的值,接下来便可以逐级升次求解高次代数式了,即原式,((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=p⁴ q⁴
直接凑二元平方和的完全平方式后得到,((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=(p² q²)²−2p²q²
同样的操作,继续对二元平方和凑二元何的完全平方式,即得到,((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=((p q)²−2pq)²−2p²q²
此时就可以代入二元何的值,以及二元积的值,即得到,((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=((√10)²−2√6)²−2(√6)²
整理后得到,((√5 √3−√2)/√2)⁴ ((√5−√3 √2)/√2)⁴=112−40√6
参考答案
#把地球的故事讲给宇宙#
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