这是一道关于导数极限的高数证明题。证明函数在趋于无穷大时，若函数的极限和导数的极限都存在，那么导数的极限就一定等于0. 事实上，其内涵是，趋于正无穷大单调递增的上凸函数，若极限存在，则导数的极限等于0；趋于正无穷大的单调递减下凸函数，若极限存在，则导数极限等于0. 趋于负无穷大时，单调性相反。
下面老黄要用三种证明方法来证明这个定理，每一种方法都是越来越复杂的，但后面复杂的证明方法涉及到的知识更贴近高数极限的本质。
证明：设f在(a, ∞)可导，若lim( x→ ∞)f’(x), lim( x→ ∞)f(x)都存在, 则(lim)( x→ ∞)f’(x)=0.
证1：记lim( x→ ∞)f’(x)=B, lim( x→ ∞)f(x)=A. 则
B=lim( x→ ∞) lim( h→0) (f(x h)-f(x))/h 【运用了导函数的定义极限公式】
=lim(h→0) lim( x→ ∞) (f(x h)-f(x))/h=0, 得证！【交换了极限的次序。因为两个极限都存在，所以可以交换极限的次序】
证2：任取[x,x 1]⊂(a, ∞), 由拉格朗日中值定理知,
存在一点ξ∈(x,x 1), 使得f’(ξ)=f(x 1)-f(x),
当x→ ∞时, ξ→ ∞, x 1→ ∞,
lim(ξ → ∞)f’(ξ)=lim(x→ ∞)f(x)-lim(x 1→ ∞)f(x 1)=0. 【改变自变量的符号，并不改变极限的本质】
证3：由柯西收敛法则知：对∀ε>0，总存在正数M>a，
使对∀x1,x2>M时，有|f(x1)-f(x2)|<ε/2, |f’(x1)-f’(x2)|<ε/2,【因为f(x)和f'(x)都收敛】
当x>M时，由拉格朗日中值定理知：
存在ξ∈(x,x 1)使f(x 1)-f(x)=f’(ξ)，
又|f’(ξ)|=|f(x 1)-f(x)|<ε/2, |f’(ξ)-f’(x)|<ε/2, 从而
|f’(x)|≤|f’(ξ)-f’(x)| |f’(ξ)|<ε,
∴lim( x→ ∞)f’(x)=0. 【运用了极限最原始的定义】
同理可证x→-∞时，命题也成立. 也可以对任意符合定理的函数补充负区间的定义，使之成为一个偶函数，由偶函数的性质，就可以知道x→-∞时，命题也成立.
这三种证法，有两种是老黄自创的，只有一种是教材上介绍的。你能猜到哪两种证法是老黄独创的吗？
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