任取平面中两个不共线的向量a、b,那么平面中所有的向量均可用a和b表示,下面我们就来证明这个定理。
由于向量在平面中可以任意平移,那么我们可以将向量a、b的起始点平移至同一点,即两个向量都是从点A出发的,从点A出发任意方向作一个向量c,从c的终点处分别作向量a、b的平行线,形成一个平行四边形,那么由向量相加的平行四边形法则可知,向量c可以表示成分别与a、b共线的两个向量之和。
这个定理叫做平面向量基本定理,定理成立的前提是,a、b均非零且不共线。
向量坐标表示的原理垂直的两个向量必然不共线,如果我们取平面直角坐标系中分别与x轴和y轴共线的单位向量m、n,那么根据上述定理,平面中任意一个向量c均可表示成
可用实数对(x,y)来表示向量c,这就是可以用坐标表示向量的原理。
定理的推广三维空间坐标系以及更高维度的坐标系中,也有类似的结论,即N维坐标系中的任意向量可用N个互不共线的一组向量表示。这其中的证明思想是类似的。
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