微积分中求导公式，级数展开式的推导及应用（彭彤彬）
本文简介：
下面的推导基于导数定义，求导法则，积分概念与法则，级数展开式的收敛等知识，得到了微积分中所有的求导公式，各基本函数的多项式展开式，并用来得出了一些无理数或超越数如带根号的数，对数值，e，π等精确值的表达式。
内容：
一、先是最简单的幂的导数公式推导：
指数为正整数时，直接用定义推导。
指数为负整数时，要依据商的导数公式推导。
若是正分数指数幂，则有要用复合函数的求导法则推导。
若是负分数指数幂，则有要用商的求导公式推导。
指数为包含无理数的实数时，则需用对数函数求导公式（推导见后），复合函数求导法则来推导。
以上是幂函数的求导公式的完整推导。
二、指数函数，对数函数，三角函数的求导公式的推导。按推导顺序一步步呈现如下。
由上面的推导可知e的重要性，没有e的定义，第一个不是多项式的自然对数的导数就求不出来，从而后面的导数公式的推导就不能进行下去。
有了e的定义后，虽说暂时我们不知道e的精确值是多少，但我们可以推出自然对数，以e为底数的指数函数的导数，见上。
由此，结合指数及对数的运算性质及复合函数求导法则，可得到任意指数函数与对数函数的求导公式。见下：
为进一步开展以后推导，我们需要先由三角形函数定义及有关知识，推导出一个重要的极限值：当自变量趋向于0时，正弦函数与其自变量比值的极限为1。
有了上述重要极限，我们用复数运算，求导，积分等基本定义和运算法则，就可推导出e的ix次方与cosx，sinx之间的关系式，从而得出几个重要常数0，1，i，e，π之间的著名关系式e的iπ次方与1的和为0。
具体过程见下：
有了上述关系式：
e＾（ix）＝cosx＋isinx，
我们就可用指数及运算表示三角函数，从而利用前面推出的指数函数求导法则，可推导出三角函数的求导公式。
具体见下：
可以看出，三角形函数求导公式简单明了。
三、下面是反正弦、反余弦、反正切的求导公式推导。
四、我们就想，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数它们能否表示成多项式的形式？若能，分别是什么样的？
我们先考虑以e为底数的指数函数分解成多项式，是个什么情况，能得到什么结论。
可以看出，e的x次方，展开成多项式形式时，含有无数多项和。
由此，令x＝1，我们得出了e的精确值表达式。
利用这个表达式，可以求出e的精确到小数后任意位的近似值。
例如：求e的近似值的误差估计
其中100！，200！值利用手机中的科学计算器算得。
由这个式子可知，e不能表示为一个分数形式（若将后部带省略号的一部分去掉，就可以通分变成一个分数即有理数，而这只是e的近似值），从而知它一定是一个无理数。
有了e＾x的多项式展开式，结合e＾x＝cosx＋isinx，马上就可以很容易推导出三角函数的多项式展开式。
见下：
对数函数的多项式展开式是什么？
幂函数的多项式展开式及应用求带根号数的值。
下面是反正弦、反余弦、反正切的级数展开式及应用来求圆周率π值的精确表达式。
