初等数学与高等数学的根本区别：研究对象的不同
初等数学的研究对象基本是不变的量
以静止的观点
高等数学的研究对象是变动的量
运动和辩证法
即初等数学研究的是常量的变量，高等数学研究的是非匀变量
可以被预测（准确）的量
很难预测的量
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目的：从思想上进行切割
映射与函数
映射是现代数学的一个基本概念，函数是微积分的研究对象，也是映射的一种
一，映射1，映射概念定义
两个非空集合X与Y间存在着对应关系f，而且对于X中的每一个元素x，Y中有唯一确定的一个元素y与之对应，就这种对应为从X到Y的映射,记作
$$f:X→Y$$
其中y称为元素x（在映射 f 下）的像，并记作 f（x），即
$$ y=f(x)$$
而元素x称为元素y（在映射 f 下）的一个原像；集合X成为映射 f 的定义域，记作 Df（dom f） ,即 Df = X ；Y中所有元素的像所组成的集合成为映射 f 的值域（Y不一定是数），记作Rf （ran f） 或 f(X),即
Rf= f(X)={ f(x) | x∈ X }
在实际应用中通常将X到X的映射称为X上的变换
构成映射的三要素：对应法则 f （使对每个x∈ X，有唯一确定的 、值域、定义域。
对每个 x∈ X ，元素 x 的像是唯一的；而对于y ∈ Rf ，元素原像不一定是唯一的，即Rf ∈Y， 不一定Rf = Y。
映射的成立条件简单的表述就是：
1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象
2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应
个数关系集合AB的元素个数为m,n,那么，从集合A到集合B的映射的个数为
函数和映射，满映射和单映射的区别：
函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的（这个概念不严谨，但足够复习考研数学了）。
即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。
象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ：即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原象可以多个）。
原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ：若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。
2，逆映射与复合映射逆映射： f是从X到Y的单射，如果存在法则g为从Y到X的映射，则法则g是法则f的逆映射。
复合映射： f是从X到Y的映射，若f的值域都在映射g的定义域内，则f与g所构成的新映射为复合映射。记作
（实在打不出来公式）
深度思考
数学是人类了解世界的工具，往深了说，数学是研究数量、结构、空间等事物及其变化规律的科学
人类了解世界要弄清楚三个问题
- 是什么
- 为什么
- 怎么样
为了回答这三个问题，人类在数学层面创造了几个概念
- 集合
- 映射
……
人类将世界看作一个集合，将世界的真相看作是另一个集合，利用集合这种极其抽象的语言，人类成功的概括了自己的周遭以及要探索什么的宏大命题（类似的还有群论等等……这里只为自己考研所需，勿喷）
我们简称为抽象集合
对于抽象集合，应该有几个基本的原则：
- 概括原则
- 外延原则
……
而对于两个抽象集合，把它们作比较或者建立起它们之间联系的唯一手段就是映射
映射也可以看做是某种语境下的元素
总之，通过集合和映射，人类完成了从思想到现实的飞跃。
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