本文为“2022年第四届数学文化征文活动
阅读《数学的故事》有感
作者：王熙霖
作品编号：001
摘要：《数学的故事》（作者：理查德·曼凯维奇）一书介绍了有关“无穷”的数学知识，作者由此引发联想，并找到例子来佐证作者的观点，同时对于其实用性进行了分析。本文先引出维度与势的概念，再全面分析了“Koch”雪花面积与周长之间的关系、“托里拆利的小号的体积与面积的联系”等实例，介绍了对于某种情况下“降维意味着生势”的观点，将“无穷”概念与“维度”联系起来进一步分析，得出两者确实有关联的结论，并就其是否在生活中有实用价值进行了讨论，最后引发了有关两者辩证统一性的思考。
关键词：无穷 维度 维数 势 降维
1 引言
本文研究了衡量物体的方法中“维度”与“势”联系，综合了前人发现的一些物体的特性，由此提出相对来讲统一的理论，以供将来参考及深度研究。同时将现有关的实用性想法进行分析并得出结论。
2 正文
日常生活中，人们常用“降维打击”形容拥有高端技术的群体进入低端技术群体的领域，对后者形成碾压式的打击，而“维度（别称维数）”这一概念即来源于数学，其是数学中最基础的定义之一。可以说不理解维度，就很难理解数学中更多更重要的概念。实例往往可以帮助认识一些深刻的道理，所以理解它并不难，下面介绍一些关于维度有趣的例子：
2.1 介绍实例
“Koch”雪花是瑞典人科赫在1904年提出的一种维数约为1.26的图形（这对于生活在三维空间的我们一定不难理解），它的作法是从一个等边三角形开始，不断将各边三等分，并取中间的一份作出一个以其为底的等边三角形。我们可以知道，这样的操作可以无限进行下去，而对于这个图形，它的周长也就随之升高并趋于无穷，即对于周长的势在上升。但是对于衡量该图形的另一个标准——面积，却不是接近于的无穷的，换句话说，Koch雪花的面积是收敛到边长平方的五分之二倍根号三的。这里,“面积”相对于“周长”就是一个维数更高的概念，即对于同一个图形来说，在衡量它的标准中维度更高的可以以有限的势来形容，但是周长这一一维的概念就无法给出确切值了，可以理解为当“维”降低，其“势”会升高。
这不是偶然现象，对于我们更熟悉的三维世界，也可以找出这样的例子：“托里拆利的小号”是一个体积趋近于π而表面积无穷的只存在于理想空间的物体，这里“体积”相对于“面积”又是一个高维的概念，同时也恰巧满足维数降低而势升高这一规律。诸如此类的例子数不胜数，却很难找到一个满足降维又降势的反例，目前没有证明两者是否严格保证负相关，但是直观上很容易想到高维度下能用有限的“容器”来包含低维度里无穷的内容，就如小说《三体》中歌者用“二向箔”来将三维世界压缩到二维以消除这个世界的危机。所以不难看出对于高维生物来说，“降维打击”是易如反掌的。
2.2 实用性研究
通过以上的研究与讨论，我们得到了这样的关系：对于事物来说，衡量的标准千千万，但相对高维的标准是有限的，但对应到低维的标准确实无穷才得以衡量。人类是否可以利用这一概念还是未解之题。如此抽象的数学概念是和很难将其运用于实际生活当中的。不过有人提出了将“能源”这一有限资源降维以获取无限资源，从而满足人类活动的想法。可是对于实操却几乎是不可能的，首先，像煤炭，天然气这类的能源，一般不将它们以“维数”衡量，换句话说，将能源“降维”本身就是一件困难的事情，更不用提用它们来驱动机器作业了。另有别用的可能性也不是完全没有，作者相信在努力下是可以深度理解这一辩证统一的关系的，从而将其以更普遍的形式呈现在大众的视角中。
2.3 本研究价值所在
从雪花到小号，再从“维数”到“势”，这里边存在着辩证统一的关系——尽管形状差之千里，但可以找到衡量它们标准的依据之间的关系，这其实也从另一个角度展示了不同事物相互联系的一面，同时也为统一思想提供了新的思路——按照维度与势的关系将事物合并同类项，以帮助人们用更全面的视角来审视所在的宇宙。
3 结论
本文就物体“维度”与“势”的关系进行了研究，得出在一些物体中衡量它们的标准里高维对应着有限，低维对应着无穷的偶然性与必然性，将前人所给出的实例进行归纳总结，并提出作者自己的观点将它们联系起来，得出在某些情形下了“低纬度的无穷”与“高纬度的有限”是有深度关联性的结论，同时也评价了现有的一些有关实用性的观点。但是由于局限性，本文作者还是没有研究到三维以上的实例，所以得出的结论并不具有完全普适性，故本人接下来的学习研究可以将注意力集中于发掘更高维的实例与验证其辩证统一性。
