函数概念最早出现在17世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中．他定义函数是这样一个量：它是从一些其他盆经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的．自从牛顿于1665年开始微积分（研究曲线的弧长、不规则图形的面积等的一个数学分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一词来表示变t间的关系．17世纪德国著名数学家莱布尼茨1673年在一篇手稿里使用了，函数”这一概念．后来，莱布尼茨又引进“常盆”’、“变量”和’‘参变t”的概念．
在数学史上，这是一大进步，它使得人们可以从数量上描述运动了．当时的函数指的是可以用解析式表示的函数．但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了．
就说这个表达式吧，是不是符合函数的定义？但你能画出它的图象吗？
从直观上讲,狄利克雷函数可以看做两条极不光滑的直线。
狄利克雷函数具有以下几个性质:
(1)解析式不可写。
(2)图像不可画，无法画出图像，但是图像客观存在。
(3)没有有关的实际背景作为参考，即生活中很难找到以这个函数为模型的例子。
从以上特点看出,狄利克雷函数完全是“人工”的函数,对整个数学的逻辑严密性,起到至关重要的作
用。
狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来．这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.
狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有愈识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数，进行具体计算，他们不大考虑抽象问题．但狄利克雷之后，事情逐渐变化了，人们开始考虑函数的各种性质，例如（图象的）对称性、增减性、连续性等．具体函数、具体函数的计算逐渐淡化了．
1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义（区间一般是指两个实数之间的所有实数）:如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一的y值与它对应，那么y是x的函数．
这个说法逐步演变为现在高中课本上用的函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称
为从集合A到集合B的一个函数，记作
或
。
其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素.
关于荻利克雷函数也可以用一个统一的式子进行表达：
这个函数有如下基本性质:
(1)周期性：任何的非零有理数都是这个函数的周期。也就是说,此函数没有最小正周期。
(2)奇偶性：D(x)是偶函数。
(3)单调性：D(x)在任意区间都不具有单调性。
(4)处处不可导，处处不连续，处处不可积。
这个函数一般用分段表达：
有时高考相关的试题中也有它的影子：
对于一个人来说，如果你爱她，就让她学习函数吧，同样地，如果你恨她，也让她学习函数吧！这不应了那句话了吗？“恨之越切，爱之越深！”
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