各位初三的学生朋友,你们好,圆作为初三的一个重要几何内容,也是初中唯一的曲线形图形(弧和扇形都可以看做圆的一部分),同时也是初中几何的收官之作,考试还是必考的。
今天介绍的八大解题基本招式,其实也是八种基本情况或基本模型,你应该都会了没。每个模型还配最新考题作为练习,有的还是蛮难的……
下面看看具体招式吧,
招式1:涉及直径的基本套路
已知直径或作直径,要预见到两件事可以发生:
(1) 直径上有个隐藏的中点(圆心);
(2) 利用直径所对圆周角为直角构造直角三角形。
例1.(2019•麻城市校级自主招生)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,√2),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=_______ .
【解析】连接AB,由圆周角定理知AB必过圆心M,Rt△ABO中,易知∠BAO=∠OCB=60°,已知了OA=√2,即可求得OB的长;过B作BD⊥OC,通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长,进而由OC=OD CD求出OC的长.答案为:1 √3.
招式2:涉及半径的基本套路
作半径:连半径,早等腰;作过切点的半径,半径垂直切线。
例2.(2018秋•海淀区期中)如图,⊙O的动弦AB,CD相交于点E,且AB=CD,∠BED=α(0°<α<90°).在①∠BOD=α,②∠OAB=90°﹣α,③∠ABC=1/2α中,一定成立的是 ________(填序号).
【解析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系,全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.如图,连接OC,设OB交CD于K.利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可;答案为①③.
招式3:涉及弦的基本套路
涉及弦长、弦心距,可构造垂径定理的模型,为利用勾股定理创造条件
例3.如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑,点A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且
【解析】(1)作OH⊥AB于H,连接OB、OA.
∵弧AB的度数为120°,AO=BO,
∴∠BOH=1/2×120°=60°,
∴AH=BH=√3,
在Rt△BOH中,sin∠BOH=BH/OB,
∴OB=2,即圆洞门⊙O的半径为2;
(2)作OM⊥EC于M,连接OC.
∵Rt△BOH中,OH=1,
∵EH=6/5,易证四边形OMEH是矩形,
∴OM=EH=6/5,ME=OH=1,
在Rt△OMC中,由勾股定理可求得CM=8/5,
∴CE=ME CM=1 8/5=13/5,
∴立柱CE的长度为13/5.
招式4:涉及圆心角、圆周角的基本套路
已知圆心角度数,要联想到同弧所对圆周角的度数,反之亦然。
例4.(2018秋•下城区期末)在⊙O中弧AB的度数为120°,点P为弦AB上的一点,连结OP并延长交⊙O于点C,连结OB,AC.
(1)若P为AB中点,且PC=1,求圆的半径.
(2)若BP:BA=1:3,请求出tan∠OPA.
【解析】(1)由P是AB的中点,弧AB的度数为120°知OC⊥AB,∠OBP=30°,据此得sinB=OP/OB=1/2,由PC=1知OP=1,据此可得答案为2;
(2)作OD⊥AB,由(1)知∠B=30°,AD=BD,据此得OD:BD=√3:3,设OD=√3x,知BD=3x,结合BP:BA=1:3得PD=x,从而得出答案.tan∠DPO=√3.
招式5:涉及弧的基本套路
出现等弧问题,我们要联想到:(1)在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等,弦心距也相等;(2))在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等,圆周角也相等;
例5.(2019•东台市模拟)如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB,D为圆周上一点,若弧BC的度数为50°,则∠ADC的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
【解析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°,利用垂径定理得到弧AC=弧BC,然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数.选:B.
招式6:涉及圆中锐角三角函数的基本套路
已知题目出现锐角三角函数值或出现求某个的三角函数值,必然连直径造直角,或作垂线段造直角,注意:同角或等角的同名三角函数值相等。
例6(2018秋•柳州期末)如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=60°,BC=2√3,则⊙O的半径为_______ .
【解析】根据同弧所对圆周角相等,构造直角三角形,可以过点C作直径,从而得到一个特殊的直角三角形,即可解直角三角形求出直径.
于是∠CBD=90°,∠D=∠A=60°,∴sinD=sin60°=BC/CD,
而BC=2√3,∴√3/2=2√2/CD,∴CD=4,∴⊙O的半径为2.故答案为2.
招式7:涉及圆中切线的基本套路
切线垂直过切点的半径,切线的证明的两套路,有交点,连半径,证垂直;无交点,作垂直,证半径。
例7.(2018•长安区一模)如图,网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,O均为格点,点N在⊙O上,若过点M作⊙O的一条切线MK,切点为K,则MK=( )
A.3√2 B.2√5 C.5 D.√34
【解析】以OM为直径作圆交⊙O于K,利用圆周角定理得到∠MKO=90°.从而得到KM⊥OK,进而利用勾股定理求解.
招式8:涉及圆内接正多边形的基本套路
圆中出现内接正多边形时,作边心距,抓住一个直角三角形来解决
了解了目前课本中应该掌握的圆求解基本招式套路,让我们在实战中加以锤炼吧。需要本圆的专题训练详细版的可私信留言索取。
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