生活中的变量之间存在直接或间接的关系，这种关系可以通过函数来表示，初中阶段已接触简单的函数知识，高中阶段将会进一步掌握和丰富函数的知识。
一、依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
二、依赖关系与函数关系
函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量.
三、分段函数
在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系也不同. 形如上述的函数,一般叫作分段函数
依赖关系与函数关系的判断
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合,以达到用图的目的.
四、函数
1.变量观点的定义
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的 每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义
知识点解析
1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.
2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).
4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,表示的是变量,f(a)是f(x)的一个特殊值
函数的这两种定义方法有什么异同点?
(1)不同点:初中定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的对应关系,强调变量的依赖关系,生动直观,是客观的、动态的;
高中定义是从集合间的对应关系的角度来刻画两个非空数集间的对应关系,强调具体的对应关系,细致入微,是微观的、静态的.
(2)相同点:两种定义满足的条件是相同的,即“变量x的每一个值”以及“A中的任意数x”都有唯一的“y值”及“数y”分别与之对应.
五、同一个函数
由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
知识点解析
自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:
(1)定义域不同,两个函数也就不同;
(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗?
不一定是同一函数.
因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
如函数y=2x和函数y=-3x 1,它们的定义域和值域都是R,但显然不是同一个函数.
知识点提升：
求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;
(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;
(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围(值域),此取值范围就是f(x)的定义域.
函数求值问题的解法
1.已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.
2.已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
