细节决定成败,一切皆有可能。

定积分

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x 0,x1], (x1,x2], (x2 ,x3], …, (xn-1 ,xn],其中x0=a,xn =b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1 ,xi ]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式该和式叫做定积分的和。 记为

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(1)

定积分积分

用汉语讲:所谓的一维定积分,就是对曲线进行细分,如下图,划分成一个个很窄的矩形,然后计算若干小矩形的面积,得到最终的总面积。

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(2)

定积分原理

  1. 积分符号“∫”类似一个“y=sin(-x)”曲线,总体上向上,但实际上积分结果可正、可负,可能到最终结果很好,也可能很糟糕。
  2. 人生曲线随着时间上下游走,有收获的时候,也有失去的时候,回头来看,人生就是靠一段段的积累,形成最终的自己;
  3. 以前阶段的积累,是一个个阶梯,踩着这些阶梯,人才能走的更远,更踏实
  4. 人生在于细节,注重了细节,积分的精度越高,积分区域边界越平滑,越接近人生精确值、理想值

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(3)

细节

不定积分

根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:

  1. 定积分是一个特定的人生,不定积分是一群人的可能,每个人都走过自己的人生
  2. 在什么都没又发生前,贫穷或富有,不给任何条件,每个人的人生,都充满各种可能
  3. 但是人生的长度、所处的环境是有限而确定,所以每个人的一生,都是独特的过程和结果。

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(4)

一切皆有可能

  1. 有的人生,有开始,也有结束,故事发展,有了确定的结果;
  2. 而有的人,年纪轻轻就不在了,充满了一切可能,想起来,只能唏嘘感慨...

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(5)

夭折

微分

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(6)

微分与曲线在某点的切线

y' = df(x)/dx

  1. 微分符号d,是“Differentiation”的首字母,标识不同,对于一个人的人生曲线而言,没每一点的导数,就是那一点的切线斜率,人生曲线每一点都不会完全相同,因为人每天或多或少,都有“不同”的变化;
  2. 不可导的曲线不可积分。如果一个人生曲线不连续,就无法明白其整个过程,也就无法推导其完整的结果。

真正的数学是微积分(人生数学七微积分)(7)

变化

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