新发现：普朗克能量子公式ε=nhγ的物理意义蕴藏在乘法结合律中
司今（jiewaimuyu@126.com）
在经典物理学中，弹簧谐振子的振动能正比于振幅平方，即E=kA²/2，而且对于给定频率的谐振子，其振幅是任意的，这就是说，对给定频率γ的谐振子可以具有任意连续地振动能量值，如图-1所示。
图-1
但在1900年，普朗克为了解决黑体辐射中的“紫外线灾难”问题，大胆地提出了一个与经典物理学概念不同的新假设：金属空腔中的电子振动可视为像弹簧一样的一维谐振子，但它吸收或发射电磁辐射能量时，不像过去经典物理学所认为的那样，可以连续地发射或吸收能量，而是以与电子谐振子的频率成正比的能量子ε=hγ为基本单元来吸收或发射能量，这就是说，空腔壁上的带电谐振子吸收或发射的能量是不连续变化的，只能是hγ的整数倍，即ε=nhγ，n为1,2,3，......正整数。普朗克并假设，比例常数h对所有谐振子都是相同的，h称为普朗克常数，h=6.62607015×10-34 J·s.
按照普朗克的假设，对于一个给定频率的谐振子，其振动能量变化只能体现在振幅的变化上，故上式又可理解为εn=nh×γ，我们以弹簧谐振子为例绘图，就是如图-2所示。
图-2 ε=nh×γ
从中可以看出，普朗克的电子谐振子在给定频率下吸收或发射能量是不连续的，即假设电子谐振子振幅A1状态下，它吸收或发射一个能量为ε=hγ的能量子，那么在振幅A2状态下，它吸收或发射的能量就是2个ε=hγ的能量子，.在振幅A3状态下，它吸收或发射的能量就是3个ε=hγ的能量子……以此类推，在振幅为An状态下，它吸收或发射的能量就是n个ε=hγ的能量子，即有 εn=nhγ.
可见，nh是与电子谐振子振幅A变化有关的量，那么，它们之间存在什么样的定量关系呢？
我们知道，对一个谐振子振动总能量描述可以有三种形式，即：
1）、以谐振子振动的最大动能描述：Ek=mv(max)²/2.
2）、以谐振子振动的最大势能描述：Ek=kA²/2.
3）、以旋转矢量圆来描述，即E=mv²=mv(2πA/T)=mv(2πr/T)=(2πmvr)γ，令h=2πmvr，则有E=mv²=hγ，h则是旋转矢量圆的2π倍角动量，而且从h=6.62607015×10-34 J·s也可以看出普朗克常数具有角动量量纲性，这是为什么呢？
普朗克将给定频率的电子谐振子在振幅为A1下的振动能量定义为最小谐振子能量，它振动可以吸收或发射一个最小能量子，即ε=hγ，且在这种状态下，h与振幅旋转矢量圆的对应关系是h=2πmvA1=2πmvr，即h就是最小旋转矢量圆的角动量；那么，在振幅为A2下，h与振幅A2的对应关系就应是h2=2πmvA2=2πmv(2A1)=2h，在振幅为A3下，h与振幅A3的对应关系就应是h3=2πmvA3=2πmv(3A1)=3h......以此类推，在振幅为An下，h与振幅为An的对应关系就是hn=πmvAn=2πmv(nA1)，这样就可以得出任意振幅下谐振子能量为εn=nhγ的描述形式，从乘法结合律角度来看，其本质就是εn=（nh）×γ，其中nh对应的是电子谐振子振幅的量子化。
当然，黑体中应由很多不同频率的电子谐振系统构成，即谐振子谐振系数k值不同，它们的振动频率γ也就不同，它们在受热振动时就会吸收或发射不同频率的能量子个体，如图-3所示，按照普朗克假设本意，它们振动时吸收或发射不同的能量子时，谐振子的能量也可以用ε=nhγ形式进行描述，且h对各个不同频率的谐振子而言，其值不变。
图-3 .ε=h×nγ
如果h是一个谐振子吸收或发射最小能量子ε=hγ时最小振幅下的最小矢量圆角动量，那么，对于二个不同频率（如γ1、γ2）的谐振子而言，按照普朗克本意，它们吸收或发射能量分别是以ε1=hγ1、ε2=hγ2为最小能量单位形式进行的，但这二个能量子中的h为什么会是一样的呢？也就是说，ε1=hγ1与ε2=hγ2中的h怎么会有相等的最小旋转矢量圆角动量？
图-4
对此，我们可以这样理解：
假设二个电子谐振子的谐振系数分别为k1、k2，当它们发射或吸收相同能量时，它们的谐振运动振幅设为A1=2A2，用振幅旋转矢量圆描述就是如-4所示。
E1=mv²=mv(2πA1/T1)=(2πmvA1)γ1=h1γ1.
E2=mv²=mv(2πA2/T2)=(2πmvA2)γ2=(2πmvA1)×(γ2/2).
即有hγ2=2E2=2E1=2hγ1，γ2=2γ1，k2=4k1.
这说明，当k2谐振子振动振幅与k1谐振子振动振幅相等时，k2振动一周期的能量是k1振动一周期能量的2倍。
可见，对于二个振动频率不同的电子谐振子，它们振动时发射或吸收的最小能量子都可以用ε=hγ来描述，只不过当h作为比例常数项时，则γ是个变量，即εi=hγi或εi=nhγ，其中γ为低频谐振子振动频率；如果从乘法结合律角度来解读，就有εi=h×(nγ)形式出现，其中γi=nγ，n为不为0的正数。
由此我们可以发现，普朗克的电子谐振子振动吸收或发射能量时，不仅与它们的振动振幅大小有关，还与它们的振动频率大小有关，即有符合乘法结合律的新普朗克能量公式出现：
同时，我们还可以看出，普朗克假设的电子谐振子的能量不仅在给定频率下是n倍量子化吸收或发射的，而且不同频率电子谐振子的能量吸收或发射能量也是量子化的。
光电效应
这说明电子谐振子振动辐射的能量子具有粒子性，这不仅为爱因斯坦解释光电效应，也为玻尔轨道跃迁理论的提出提供了丰富的理论基础。
玻尔电子轨道跃迁
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