新发现:普朗克能量子公式ε=nhγ的物理意义蕴藏在乘法结合律中

司今(jiewaimuyu@126.com)

在经典物理学中,弹簧谐振子的振动能正比于振幅平方,即E=kA²/2,而且对于给定频率的谐振子,其振幅是任意的,这就是说,对给定频率γ的谐振子可以具有任意连续地振动能量值,如图-1所示。

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(1)

图-1

但在1900年,普朗克为了解决黑体辐射中的“紫外线灾难”问题,大胆地提出了一个与经典物理学概念不同的新假设:金属空腔中的电子振动可视为像弹簧一样的一维谐振子,但它吸收或发射电磁辐射能量时,不像过去经典物理学所认为的那样,可以连续地发射或吸收能量,而是以与电子谐振子的频率成正比的能量子ε=hγ为基本单元来吸收或发射能量,这就是说,空腔壁上的带电谐振子吸收或发射的能量是不连续变化的,只能是hγ的整数倍,即ε=nhγ,n为1,2,3,......正整数。普朗克并假设,比例常数h对所有谐振子都是相同的,h称为普朗克常数,h=6.62607015×10-34 J·s.

按照普朗克的假设,对于一个给定频率的谐振子,其振动能量变化只能体现在振幅的变化上,故上式又可理解为εn=nh×γ,我们以弹簧谐振子为例绘图,就是如图-2所示。

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(2)

图-2 ε=nh×γ

从中可以看出,普朗克的电子谐振子在给定频率下吸收或发射能量是不连续的,即假设电子谐振子振幅A1状态下,它吸收或发射一个能量为ε=hγ的能量子,那么在振幅A2状态下,它吸收或发射的能量就是2个ε=hγ的能量子,.在振幅A3状态下,它吸收或发射的能量就是3个ε=hγ的能量子……以此类推,在振幅为An状态下,它吸收或发射的能量就是n个ε=hγ的能量子,即有 εn=nhγ.

可见,nh是与电子谐振子振幅A变化有关的量,那么,它们之间存在什么样的定量关系呢?

我们知道,对一个谐振子振动总能量描述可以有三种形式,即:

1)、以谐振子振动的最大动能描述:Ek=mv(max)²/2.

2)、以谐振子振动的最大势能描述:Ek=kA²/2.

3)、以旋转矢量圆来描述,即E=mv²=mv(2πA/T)=mv(2πr/T)=(2πmvr)γ,令h=2πmvr,则有E=mv²=hγ,h则是旋转矢量圆的2π倍角动量,而且从h=6.62607015×10-34 J·s也可以看出普朗克常数具有角动量量纲性,这是为什么呢?

普朗克将给定频率的电子谐振子在振幅为A1下的振动能量定义为最小谐振子能量,它振动可以吸收或发射一个最小能量子,即ε=hγ,且在这种状态下,h与振幅旋转矢量圆的对应关系是h=2πmvA1=2πmvr,即h就是最小旋转矢量圆的角动量;那么,在振幅为A2下,h与振幅A2的对应关系就应是h2=2πmvA2=2πmv(2A1)=2h,在振幅为A3下,h与振幅A3的对应关系就应是h3=2πmvA3=2πmv(3A1)=3h......以此类推,在振幅为An下,h与振幅为An的对应关系就是hn=πmvAn=2πmv(nA1),这样就可以得出任意振幅下谐振子能量为εn=nhγ的描述形式,从乘法结合律角度来看,其本质就是εn=(nh)×γ,其中nh对应的是电子谐振子振幅的量子化。

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(3)

当然,黑体中应由很多不同频率的电子谐振系统构成,即谐振子谐振系数k值不同,它们的振动频率γ也就不同,它们在受热振动时就会吸收或发射不同频率的能量子个体,如图-3所示,按照普朗克假设本意,它们振动时吸收或发射不同的能量子时,谐振子的能量也可以用ε=nhγ形式进行描述,且h对各个不同频率的谐振子而言,其值不变。

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(4)

图-3 .ε=h×nγ

如果h是一个谐振子吸收或发射最小能量子ε=hγ时最小振幅下的最小矢量圆角动量,那么,对于二个不同频率(如γ1、γ2)的谐振子而言,按照普朗克本意,它们吸收或发射能量分别是以ε1=hγ1、ε2=hγ2为最小能量单位形式进行的,但这二个能量子中的h为什么会是一样的呢?也就是说,ε1=hγ1与ε2=hγ2中的h怎么会有相等的最小旋转矢量圆角动量?

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(5)

图-4

对此,我们可以这样理解:

假设二个电子谐振子的谐振系数分别为k1、k2,当它们发射或吸收相同能量时,它们的谐振运动振幅设为A1=2A2,用振幅旋转矢量圆描述就是如-4所示。

E1=mv²=mv(2πA1/T1)=(2πmvA1)γ1=h1γ1.

E2=mv²=mv(2πA2/T2)=(2πmvA2)γ2=(2πmvA1)×(γ2/2).

即有hγ2=2E2=2E1=2hγ1,γ2=2γ1,k2=4k1.

这说明,当k2谐振子振动振幅与k1谐振子振动振幅相等时,k2振动一周期的能量是k1振动一周期能量的2倍。

可见,对于二个振动频率不同的电子谐振子,它们振动时发射或吸收的最小能量子都可以用ε=hγ来描述,只不过当h作为比例常数项时,则γ是个变量,即εi=hγi或εi=nhγ,其中γ为低频谐振子振动频率;如果从乘法结合律角度来解读,就有εi=h×(nγ)形式出现,其中γi=nγ,n为不为0的正数。

由此我们可以发现,普朗克的电子谐振子振动吸收或发射能量时,不仅与它们的振动振幅大小有关,还与它们的振动频率大小有关,即有符合乘法结合律的新普朗克能量公式出现:

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(6)

同时,我们还可以看出,普朗克假设的电子谐振子的能量不仅在给定频率下是n倍量子化吸收或发射的,而且不同频率电子谐振子的能量吸收或发射能量也是量子化的

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(7)

光电效应

这说明电子谐振子振动辐射的能量子具有粒子性,这不仅为爱因斯坦解释光电效应,也为玻尔轨道跃迁理论的提出提供了丰富的理论基础。

普朗克公式是不是理论物理(普朗克能量子公式ε)(8)

玻尔电子轨道跃迁

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