考向解读

分析河南近10年(2010~2020年)数学中招试题,发现第18题命题特点:

第18题主要考查:

①与圆有关的特殊四边形动态探究题;

②与圆有关的证明与计算

所涉及的知识点:圆周角定理、圆的切线的判定定理、圆的切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定定理、直角三角形的性质与判定定理、菱形的性质与判定定理等,具体命题特点:

1、第1问主要是证明:全等,线段相等,角相等等;

2、第2问主要是与圆有关的计算:

①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。

例题精析

例2 (2017•河南)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.

(1)求证:BD=BF;

(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(1)

(1)证明:∵AB是⊙O的直径,

∴∠BDA=90°,

BDAC,∠BDC=90°,

BF切⊙OB

ABBF

CFAB

CFBF,∠FCB=∠ABC

ABAC

∴∠ACB=∠ABC

∴∠ACB=∠FCB

BDACBFCF

BDBF

(2)解:∵AB=10,ABAC

AC=10,

CD=4,

AD=10﹣4=6,

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(2)

解题秘籍

1.找圆心,连半径,转移边(或等腰现)(这一点容易疏忽,特别重要);

2.遇切线,连半径,得垂直(利用切线的性质);

证切线:①有切点,连半径,证垂直;

常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;

有时 可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;

②无切点,做垂直,证半径;

常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行 由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

3.遇角找弧,由弧找角,然后运用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半(圆中处理角的方法策略);

4.遇直径,想直径所对的圆周角是90°(有时需构造直径);遇弦,作弦心距(垂径定理),构造直角三角形,应用勾股定理直接求或列方程求解(涉及弓形的高);

5.注意圆内接四边形性质的应用(易漏掉,没考虑到):对角互补,一个外角等于内对角;

6. 含30°直角三角形的三边的比为:

7.求线段的长:把所求线段转化到直角三角形中,再结合已知条件,利用勾股定理或锐角三角函数进行求解.

计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。

8.“直角 中点”模型:考虑斜边中线等于斜边的一半或推导应用它的逆命题;“角平分线 平行”模型:可推导出等腰三角形,或考虑其逆命题;

9.圆的证明题常用的辅助线有:

①直径类问题:遇直径,作圆周角.

②切线类问题:

证明切线:有点连圆心,证垂直;无点做垂线,证半径.

已知圆的切线:有点连圆心,得垂直;无点做垂线,得半径.

③弦一类问题:

过圆心做弦垂线段,还有连接半径.

这样构造直角三角形,解直角三角形即可。

10.重要而常见的数学思想方法有:

(1)构造思想:如:

①构建矩形转化线段;

②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);

③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;

④构造勾股定理模型;

⑤构造三角函数.

(2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。

(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

备考指导

1、认真审题,由已知条件可以知道哪些信息?求解的目标是什么?盯着目标去找条件,直接解决不了,怎么转化问题?

2、几何中的基本图形要非常熟悉,如相似中的A型、X型、双垂直图形等等。

3、求线段长度的两个工具:勾股定理、相似(或锐角三角函数);一种思想:方程思想。

4、使用三角形函数的前提是必须在直角三角形中,如果某个角的三角形函数不好求,利用等角转化,可以把它转化到一个好的直角三角形中去求解决。

跟踪演练

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(3)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(4)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(5)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(6)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(7)

参考答案

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(8)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(9)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(10)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(11)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(12)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(13)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(14)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(15)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(16)

中考数学关于圆的证明题(中考数学解答题系列4)(17)

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